Question

Udowodnij, że liczba 9 dzieli wyrażenie. [tex]4^{n}+15n-1 \\dla\\n\geq 1[/tex]
Indukcja matematyczna daje 100 pkt

Answer 1

Rozwiązanie:

Mamy pokazać, że:
[tex]9 \ | \ 4^n + 15n -1 \ \text{dla} \ n\geq 1[/tex]

Sprawdzamy dla [tex]n=1[/tex] :

[tex]4^{1}+15-1=18 = 9 \cdot 2[/tex]

Zgadza się.

Założenie indukcyjne:

[tex]9 \ | \ 4^n + 15n -1 \ \text{dla} \ n\geq 1[/tex]

Teza indukcyjna:

[tex]9 \ | \ 4^{n+1}+15(n+1)-1 \ \text{dla} \ n\geq 1[/tex]

Zauważmy, że:

[tex]4^{n+1}+15(n+1)-1=4^{n} \cdot 4+15n+14=4(4^n+15n-1)-45n+18=[/tex]

[tex]=4(4^n+15n-1)-9(5n+2)[/tex]

To wyrażenie jest podzielne przez [tex]9[/tex], gdyż jest różnicą wyrażeń podzielnych przez [tex]9[/tex] (pierwsze na podstawie założenia indukcyjnego).

To kończy dowód.