Question

Wyznacz wszystkie wartości parametru c, dla których równanie f(x) + f'(x) = 0, gdzie [tex]f(x)=x+\frac{c}x[/tex] i x ≠ 0, ma dwa różne pierwiastki.

Answer 1

Verified answer

Odpowiedź:

Szczegółowe wyjaśnienie:

Warunek zadania jest równoznaczny z tym, że któryś z pierwiastków pochodnej nie jest pierwiastkiem wielomianu wyjściowego.[tex]f(x)+f'(x)=x+\frac{c}{x} +1-\frac{c}{x^2} =0 |*x^2\\x^3+x^2+cx-c=0=g(x)\\g'(x)=3x^2+2x+c\\[/tex]

Uzyskaliśmy pochodną funkcji g więc wyznaczmy jej miejsca zerowe:

[tex]g'(x)=3x^2+2x+c=0\\x_1=\frac{-2+\sqrt{4-12c} }{6} =\frac{-2+2\sqrt{1-3c} }{6} =\frac{-1+\sqrt{1-3c} }{3} \\x_2=\frac{-3-\sqrt{1-3c} }{3}[/tex]

Wstawmy [tex]x_1[/tex] do g z pewnym podstawieniem tzn:

[tex]t=x_1\\t=\frac{-1+\sqrt{1-3c}}{3} |*3\\ 3t=-1+\sqrt{1-3c} |+1\\ 3t+1=\sqrt{1-3c} |^2\\ 9t^2+6t+1=1-3c |-1\\3(3t^2+2t)=-3c |:(-3)\\-3t^2-2t=c[/tex]

Więc:

[tex]t^3+t^2+(-3t^2-2t)t+3t^2+2t=0\\-2t^3+2t^2+2t=0 |:2\\-t^3+t^2+t=0 | :t //t= 0 jest rozwiazaniem\\-t^2+t+1=0\\t=\frac{-1+-\sqrt{1+4} }{-2} =\frac{1+-\sqrt{5} }{2}[/tex]

Teraz dla każdego z rozwiązań t wyznaczmy rozwiązanie c:

[tex]t=0:\\c=0\\t=\frac{1+\sqrt{5} }{2}: \\c=\frac{-11-5\sqrt{5} }{2} \\t=\frac{1-\sqrt{5} }{2} :\\c=\frac{-11+5\sqrt{5} }{2}[/tex]

Teraz wstawmy [tex]x_2[/tex] do g z analogicznym podstawieniem:

wyjdzie jednak to samo więc sprawdźmy podstawiając konkretne c:

dla [tex]c=0[/tex]:

[tex]x^3+x^2=0 |:x^2\\x+1=0\\x=-1[/tex]

Jest więc jedno rozwiązanie( gdyż oczywiście z zał. [tex]x\neq 0[/tex])

dla [tex]c = \frac{-11-5\sqrt{5} }{2}[/tex]:

Istnieją 2 pierwiastki:

[tex]x_1=-2-\sqrt{5} \\x_2=\frac{1+\sqrt{5} }{2}[/tex]

dla [tex]c=\frac{-11+5\sqrt{5} }{2}[/tex]:

Również istnieją 2 pierwiastki:

[tex]x_1 =-2+\sqrt{5}\\ x_2=\frac{1-\sqrt{5} }{2}[/tex]

Stąd:

c∈C/{0}

(Słownie: c może być dowolną liczbą zespoloną z wyłączeniem 0)

PS:

Troszkę nietypowe zadanie, ale nudziłem się więc proszę :)

Liczę na naj