Question

Walec o objętości 85[tex]\frac{1}{3\\}[/tex]π i wysokości 9 przetopiono, a następnie z powstałej masy wykonano kulę. Oblicz średnicę kuli oraz jej sferę.

Answer 1

[tex]\huge\begin{array}{lccc}D=8\\P=64\pi\end{array}[/tex]

Walec i kula.

Walec jest to bryła obrotowa, która powstaje poprzez obrót prostokąta względem jego osi symetrii lub względem jednego z boków.

Objętość:

[tex]V=\pi r^2\cdot H[/tex]

Pole całkowite:

[tex]P_c=2\pi r\cdot(r+H)[/tex]

[tex]r[/tex] - długość promienia podstawy

[tex]H[/tex] - wysokość walca

Kula jest to bryła obrotowa, która powstaje poprzez obrót koła względem jego średnicy/osi symetrii.

Objętość:

[tex]V=\dfrac{4}{3}\pi R^3[/tex]

Pole powierzchni:

[tex]P=4\pi R^2[/tex]

[tex]R[/tex] - promień kuli

ROZWIĄZANIE:

Walec przetopiono na kulę. W związku z tym objętość materiału, z którego był wykonany walec, a teraz jest kula, nie ulega zmianie - jest stała.

Wobec tego mamy równanie:

[tex]V_K=V_W[/tex]

objętość kuli = objętość walca

Objętość walca mamy daną. Podstawiamy do równania:

[tex]V_K=85\dfrac{1}{3}\pi\\\\V_K=\dfrac{256}{3}\pi\Rightarrow\dfrac{4}{3}\pi R^3=\dfrac{256\pi}{3}\qquad|\cdot3\\\\4\pi R^3=256\pi\qquad|:4\pi\\\\R^3=64\to R=\sqrt[3]{64}\\\\\boxed{R=4}[/tex]

Obliczamy średnicę kuli:

[tex]D=2R\to D=2\cdot4\\\\\boxed{D=8}[/tex]

Obliczamy pole powierzchni kuli:

[tex]P=4\pi\cdot4^2=4\pi\cdot16\\\\\boxed{P=64\pi}[/tex]