Question

Obliczyć objętość bryły ograniczonej walcem [tex]x^{2} +y^{2}=4[/tex] i płaszczyznami 0XY, 0XZ, 0YZ, x+y+z=10.
Za pomocą całki podwójnej. Proszę o wytłumaczenie.

Answer 1

Odpowiedź:

[tex]$V=10\pi-\frac{16}{3}\cong26,0826$[/tex]

Szczegółowe wyjaśnienie:

Płaszczyzny 0XY, 0XZ oraz 0YZ definiują pierwszy oktant przestrzennego układu współrzędnych. Stwórzmy obszar D będący obrazem problemu na płaszczyźnie XY i jego opis. Nasza bryła zrzutowana na płaszczyznę XY to część koła znajdująca się w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych (układu XY).

[tex]$D=\big\{(x, y)\in\mathbb R^2: \ \ \ x^2+y^2\leq 4 \ \ \ \wedge \ \ \ x\geq 0 \ \ \ \wedge \ \ \ y\geq 0\big\}$[/tex]

Zatem naszą całkę możemy zapisać jako

[tex]$\iiint\limits^{}_Vdxdydz=\iint\limits^{}_D\bigg(\int\limits^{10-x-y}_0 \, dz \bigg)dxdy =\iint\limits^{}_D\bigg(10-x-y\bigg)dxdy$[/tex]

Przechodzimy na współrzędne biegunowe

[tex]$\begin{cases}x=r\cdot\cos\varphi\\y=r\cdot\sin\varphi\\J=\left|\begin{array}{cc}\cos\varphi&-r\cdot\sin\varphi\\\sin\varphi&r\cdot\cos\varphi&\end{array}\right|=r \end{cases}$[/tex]

Nowy obszar całkowania zapisujemy jako

[tex]$\Delta=\big\{(r, \varphi)\in\mathbb R^2: \ \ \ 0\leq r\leq 2 \ \ \ \wedge \ \ \ 0\leq \varphi\leq \frac{\pi}{2} \big\}$[/tex]

Tak więc

[tex]$\iint\limits^{}_D {(10-x-y)} \, dxdy=\iint\limits^{}_\Delta {\big(10r-r^2\cdot\cos\varphi-r^2\cdot\sin\varphi\big)} \, drd\varphi$[/tex]

Podstawiamy granice

[tex]$\int\limits^2_0 {\bigg(\int\limits^\frac{\pi}{2} _0 {\big(10r-r^2\cdot\cos\varphi-r^2\cdot\sin\varphi\big)} \, d\varphi \bigg)} \, dr= \int\limits^2_0 {\bigg(\big[10\varphi r-r^2\cdot\sin\varphi+r^2\cdot\cos\varphi\big]^{\varphi=\frac{\pi}{2} }_{\varphi=0}\bigg)} \, dr=$[/tex]

[tex]$=\int\limits^2_0 {\big(5\pi\cdot r-2r^2\big)} \, dr=\bigg[\frac{5\pi\cdot r^2}{2}-\frac{2r^3}{3}\bigg]^{r=2}_{r=0} =10\pi-\frac{16}{3}\cong26,0826$[/tex]

W razie problemów z LaTex dodaje także screen.