Question

Tentukan semua nilai x bilangan real yang memenuhi persamaan berikut
[tex]x = \sqrt{x-\frac{1}{x} } + \sqrt{1-\frac{1}{x}[/tex] gunakan cara yang lengkap

Answer 1

Verified answer

Karena solusi yang dicari merupakan bilangan real, maka nilai-nilai dalam akar haruslah nonnegatif. Akibatnya:

(a)

[tex]\begin{aligned}x-\frac{1}{x}=\frac{x^2-1}{x}=\frac{(x+1)(x-1)}{x} > 0\end{aligned}[/tex]

- Andaikan x positif, maka haruslah (x + 1)(x - 1) > 0

Akibatnya, akan haruslah terpenuhi x < -1 atau x > 1

Karena x positif, maka hanya akan terpenuhi jika x > 1.

- Andaikan x negatif, maka haruslah (x + 1)(x - 1) < 0

Akibatnya, haruslah terpenuhi -1 < x < 1

Karena x negatif, maka hanya akan terpenuhi jika -1 < x < 0

(b)

[tex]\begin{aligned}1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x} > 0\end{aligned}[/tex]

- Andaikan x positif, maka haruslah x - 1 > 0

Akibatnya, haruslah terpenuhi x > 1

- Andaikan x negatif, maka haruslah x - 1 < 0

Akibatnya, haruslah terpenuhi x < 1

(c)

Perhatikan juga bahwa haruslah

[tex]\begin{aligned}\sqrt{x-\frac{1}{x}}\geq 0,\ \sqrt{1-\frac{1}{x}}\geq 0\end{aligned}[/tex]

maka, akan didapatkan

[tex]\begin{aligned}x=\sqrt{x-\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}\geq0\end{aligned}[/tex]

Dengan mengiris calon-calon himpunan penyelesaian dari (a), (b), dan (c), maka akan didapatkan:

[tex]S=\{x\ |\ x > 1\}[/tex]

===

Perhatikan bahwa:

[tex]\begin{aligned}x&=\sqrt{x-\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}\\ x\left(\sqrt{x-\frac{1}{x}}-\sqrt{1-\frac{1}{x}}\right)&=\left(\sqrt{x-\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}\right)\left(\sqrt{x-\frac{1}{x}}-\sqrt{1-\frac{1}{x}}\right) \\ x\left(\sqrt{x-\frac{1}{x}}-\sqrt{1-\frac{1}{x}}\right)&=\left(x-\frac{1}{x}\right)-\left(1-\frac{1}{x}\right) \\ x\left(\sqrt{x-\frac{1}{x}}-\sqrt{1-\frac{1}{x}}\right)&=x-1 \\ \left(\sqrt{x-\frac{1}{x}}-\sqrt{1-\frac{1}{x}}\right)&=\frac{x-1}{x}\end{aligned}[/tex]

maka,

[tex]\begin{aligned}\left(\sqrt{x-\frac{1}{x}}-\sqrt{1-\frac{1}{x}}\right)+\left(\sqrt{x-\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}\right)&=\left(\frac{x-1}{x}\right)+x \\ 2\sqrt{x-\frac{1}{x}}&=\frac{x-1+x^2}{x} \\ 2\sqrt{x-\frac{1}{x}}&=x-\frac{1}{x}+1\end{aligned}[/tex]

Misalkan

[tex]\begin{aligned}x-\frac{1}{x}=a\end{aligned}[/tex]

maka,

[tex]\begin{aligned}2\sqrt{x-\frac{1}{x}}&=x-\frac{1}{x}+1 \\ 2\sqrt{a}&=a+1 \\ a-2\sqrt{a}+1&=0 \\ (\sqrt{a}-1)(\sqrt{a}-1)&=0\end{aligned}[/tex]

Jadi, haruslah

[tex]\begin{aligned}\sqrt{a}=1\Rightarrow a&=1\end{aligned}[/tex]

Sehingga,

[tex]\begin{aligned}x-\frac{1}{x}&=a \\ x-\frac{1}{x}&=1 \\ \frac{x^2-1}{x}&=1 \\ x^2-1&=x \\ x^2-x-1&=0 \\ \left(x+\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)\right)&=0\end{aligned}[/tex]

maka, haruslah

[tex]\begin{aligned}x_1&=\frac{1-\sqrt{5}}{2},\ x_2&=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\end{aligned}[/tex]

Namun, karena  [tex]\begin{aligned}\frac{1-\sqrt{5}}{2}\leq1\end{aligned}[/tex], maka hanya [tex]\begin{aligned}x_2\end{aligned}[/tex] yang memenuhi.

Artinya, semua nilai x yang memenuhi persamaan tersebut hanyalah

[tex]\begin{aligned}x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\end{aligned}[/tex]