Question

Zbadaj monotoniczność ciągu geometrycznego an = [tex]- \frac{1}{3} * (-\frac{1}{2})[/tex] do potęgi n -1

Answer 1

Ciąg nie jest monotoniczny.

Monotoniczność ciągu.

Niech dany będzie ciąg [tex](a_n)[/tex], dla [tex]n\geq1[/tex]. Wówczas, jeżeli:

• [tex]a_{n+1}-a_n<0[/tex], to ciąg jest malejący;
• [tex]a_{n+1}-a_n=0[/tex], to ciąg jest stały;
• [tex]a_{n+1}-a_n>0[/tex], to ciąg jest rosnący.

Twierdzenia:

[tex]a^n\cdot a^m=a^{n+m}\\\\\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}[/tex]

ROZWIĄZANIE:

Dany jest ciąg:

[tex]a_n=-\dfrac{1}{3}\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}[/tex]

Budujemy kolejny wyraz ciągu:

[tex]a_{n+1}=-\dfrac{1}{3}\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-1+1}=-\dfrac{1}{3}\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n[/tex]

Badamy różnicę:

[tex]a_{n-1}-a_n=-\dfrac{1}{3}\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n-\left[-\dfrac{1}{3}\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}\right]\\=-\dfrac{1}{3}\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n+\dfrac{1}{3}\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}=\dfrac{1}{3}\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{-1}-\dfrac{1}{3}\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n\\\\=\dfrac{1}{3}\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n\cdot(-2-1)=\dfrac{1}{3}\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n\cdot(-3)=-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n[/tex]

Nie możemy określić znaku tej różnicy ponieważ przy parzystym [tex]n[/tex] wynik będzie ujemny, a przy nieparzystym dodatni.

W związku z tym otrzymujemy:

Ciąg nie jest monotoniczny.

Powyższe metoda rozwiązania jest ogólna dla każdego ciągu.

Jeżeli mamy zbadać monotoniczność ciągu geometrycznego, to:

Ciąg geometryczny to ciąg liczbowy, w którym każdy kolejny wyraz ciągu powstaje z poprzedniego poprzez pomnożenie go przez stałą liczbę różną od zera zwaną ilorazem ciągu (q).

Wzór na wyraz ogólny ciągu geometrycznego:

[tex]a_n=a_1\cdot q^{n-1}[/tex]

Monotoniczność ciągu geometrycznego zależy od ilorazu.

• jeżeli [tex]q < 0[/tex], to ciąg nie jest monotoniczny;
• jeżeli [tex]q\in(0,\ 1)[/tex], to ciąg jest malejący;
• jeżeli [tex]q=1[/tex], to ciąg jest stały;
• jeżeli [tex]q > 1[/tex], to ciąg jest rosnący.

Należy obliczyć iloraz ciągu.

Obliczamy go dzieląc następny wyraz przez poprzedni:

[tex]a_n=-\dfrac{1}{3}\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}[/tex]

[tex]a_{n+1}=-\dfrac{1}{3}\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n[/tex]

[tex]q=\dfrac{a_{n+1}}{a_n}[/tex]

podstawiamy:

[tex]q=\dfrac{-\frac{1}{3}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)^n}{-\frac{1}{3}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}}=\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-(n-1)}=\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-n+1}=\left(-\dfrac{1}{2}\right)^1=-\dfrac{1}{2} < 0[/tex]

ciąg nie jest monotoniczny.