Question

Diketahui persegi panjang ABCD. X pada AB sehingga AX:XB = 1:5. Y pada BC sehingga BY:BC = 1:4. O adalah perpotongan kedua diagonal persegi panjang. Jika [tex]\overrightarrow{OX}[/tex] = a dan [tex]\overrightarrow{OY}[/tex] = b, maka nyatakan vektor [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] dalam a dan b!

Answer 1

[tex]\large\text{$\begin{aligned}\overrightarrow{\bf AB}=-\frac{3}{4}{\bf a}+\frac{3}{2}{\bf b}\end{aligned}$}[/tex] PembahasanVektor: Kombinasi LinearDari soal yang diberikan, dapat kita ketahui bahwa relatif terhadap titik [tex]O[/tex], kita memiliki vektor posisi [tex]\overrightarrow{OA}[/tex] dan [tex]\overrightarrow{OB}[/tex], sehingga vektor [tex]\overrightarrow{AB}[/tex], dapat dinyatakan dengan:[tex]\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\quad...(i)[/tex]Pada ruas garis [tex]AB[/tex], terdapat titik [tex]X[/tex] sedemikian rupa sehingga [tex]AX:XB = 1:5[/tex], dan vektor [tex]\overrightarrow{OX}=\bf a[/tex]. Maka:[tex]\begin{aligned}\overrightarrow{OX}&=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AX}\\\bf a&=\overrightarrow{OA}+\frac{1}{1+5}\overrightarrow{AB}\\&=\overrightarrow{OA}+\frac{1}{6}\overrightarrow{AB}\\&=\overrightarrow{OA}+\frac{1}{6}\left(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\right)\\6\bf a&=6\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\\\therefore\ 6\bf a&=\overrightarrow{OB}+5\overrightarrow{OA}\quad...(ii)\end{aligned}[/tex]Pada ruas garis [tex]BC[/tex], terdapat titik [tex]Y[/tex] sedemikian rupa sehingga [tex]BY:BC = 1:4[/tex], dan vektor [tex]\overrightarrow{OY}=\bf b[/tex]. Maka:[tex]\begin{aligned}\overrightarrow{OY}&=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BY}\\\bf b&=\overrightarrow{OB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{BC}\\&=\overrightarrow{OB}+\frac{1}{4}\left(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}\right)\\4\bf b&=4\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}\\&=3\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\end{aligned}[/tex]Karena [tex]AC[/tex] adalah diagonal persegi panjang [tex]ABCD[/tex], maka vektor [tex]\overrightarrow{OC}[/tex] berlawanan arah dengan [tex]\overrightarrow{OA}[/tex], dengan besar vektor yang sama, sehingga [tex]\overrightarrow{OC}=-\overrightarrow{OA}[/tex].Oleh karena itu:[tex]\begin{aligned}\therefore\ 4\bf b&=3\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\quad...(iii)\end{aligned}[/tex]Kita eliminasi vektor [tex]\overrightarrow{OB}[/tex].[tex]\begin{aligned}(ii):\ &\overrightarrow{OB}+5\overrightarrow{OA}=6\bf a\\\Downarrow\times3\\(ii):\ &3\overrightarrow{OB}+15\overrightarrow{OA}=18\bf a\\(iii):\ &3\overrightarrow{OB}-\quad\overrightarrow{OA}=\:\,4\bf b\\&\text{-----------------------------}\ -\\&16\overrightarrow{OA}=18{\bf a}-4{\bf b}\\\Rightarrow\ &\overrightarrow{OA}=\frac{9}{8}{\bf a}-\frac{1}{4}{\bf b}\end{aligned}[/tex]Lalu, dari persamaan [tex](iii)[/tex] dapat kita peroleh:[tex]\begin{aligned}&3\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=4{\bf b}\\&{\Rightarrow\ }3\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}-2\overrightarrow{OA}=4{\bf b}-2\overrightarrow{OA}\\&{\Rightarrow\ }3\overrightarrow{OB}-3\overrightarrow{OA}=4{\bf b}-2\overrightarrow{OA}\\&{\Rightarrow\ }3\left(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\right)=4{\bf b}-2\overrightarrow{OA}\\&{\Rightarrow\ }\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\frac{1}{3}\left(4{\bf b}-2\overrightarrow{OA}\right)\\\end{aligned}[/tex][tex]\begin{aligned}{\Rightarrow\ }\overrightarrow{\bf AB}&=\frac{1}{3}\left(4{\bf b}-2\overrightarrow{OA}\right)\\&=\frac{2}{3}\left(2{\bf b}-\overrightarrow{OA}\right)\\&=\frac{2}{3}\left(2{\bf b}-\left(\frac{9}{8}{\bf a}-\frac{1}{4}{\bf b}\right)\right)\\&=\frac{2}{3}\left(-\frac{9}{8}{\bf a}+\frac{9}{4}{\bf b}\right)\\{\therefore\ \:}\overrightarrow{\bf AB}&=\boxed{\ -\frac{3}{4}{\bf a}+\frac{3}{2}{\bf b}\ }\\\end{aligned}[/tex] PemeriksaanPada gambar yang diberikan, [tex]AB[/tex] = 9 satuan, dan [tex]BC[/tex] = 4 satuan, sehingga:[tex]\begin{aligned}&\overrightarrow{OX}={\bf a}=\begin{pmatrix}-3\\-2\end{pmatrix},\ \overrightarrow{OY}={\bf b}=\begin{pmatrix}4{,}5\\-1\end{pmatrix}\\&\overrightarrow{\bf AB}=\begin{pmatrix}9\\0\end{pmatrix}\end{aligned}[/tex][tex]\begin{aligned}\overrightarrow{\bf AB}&=-\frac{3}{4}{\bf a}+\frac{3}{2}{\bf b}\\&=-\frac{3}{4}\begin{pmatrix}-3\\-2\end{pmatrix}+\frac{3}{2}\begin{pmatrix}4{,}5\\-1\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}\dfrac{9}{4}+\dfrac{13{,}5}{2}\\\\\dfrac{6}{4}-\dfrac{3}{2}\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}2{,}25+6{,}75\\\\\dfrac{6}{4}-\dfrac{6}{4}\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}9\\0\end{pmatrix}\\\end{aligned}[/tex](benar)[tex]\blacksquare[/tex]