Question

Oblicz sumę sześciu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego:
a) o wzorze ogólnym an= [tex]3^{n}[/tex]
b) mając dane: a1=3, a2=1,5

Answer 1

Odpowiedź:

a)

[tex]a_1=3^1=3\\a_2=3^2=9\\q=a_2:a_1=9:3=3\\S_6=3*\frac{1-3^6}{1-3}=\frac{3-3^7}{-2}=\frac{3-2187}{-2}=\frac{2184}{2} =1092\\ \\ b)\\ q=a_2:a_1\\q=1,5:3=0,5\\S_6=3*\frac{1-(\frac{1}{2})^6 }{1-\frac{1}{2}} =3*\frac{1-(\frac{1}{2})^6 }{\frac{1}{2}}=6*(1-\frac{1}{64} )=6*\frac{63}{64}=\frac{189}{32}=5\frac{29}{32}[/tex]

Szczegółowe wyjaśnienie:

Answer 2

Odpowiedź:

[tex]\huge\boxed{a) \ S_6 = 1092 \ \ | \ \ b) \ S_6 = 5\frac{29}{32}}[/tex]

Szczegółowe wyjaśnienie:

Ciąg geometryczny

Korzystamy ze wzorów na iloraz ciągu geometrycznego:

[tex]q = \frac{a_2}{a_1}[/tex]

oraz sumę początkowych wyrazów:

[tex]S_{n} = a_1\cdot\frac{1-q^{n}}{1-q}[/tex]

a)

[tex]a_{n} = 3\\n = 6\\\\a_1 = 3^{1} = 3\\a_2 = 3^{2} = 3^{2}}[/tex]

Iloraz ciągu:

[tex]q = \frac{a_2}{a_1} = \frac{3^{2}}{3} =\underline{ 3}[/tex]

Obliczam sumę sześciu początkowych wyrazów ciągu:

[tex]S_{n} = a_1\cdot\frac{1-q^{n}}{1-q}\\\\S_6=3\cdot\frac{1-3^{6}}{1-3} = 3\cdot\frac{1-729}{-2} = 3\cdot\frac{-728}{-2} =3\cdot364 = \boxed{1092}[/tex]

b)

[tex]a_1 = 3\\a_2 = 1,5\\n = 6\\\\q = \frac{a_2}{a_1} = \frac{1,5}{3}=\frac{15}{30} = \underline{\frac{1}{2}}[/tex]

Obliczam sumę sześciu początkowych wyrazów ciągu:

[tex]S_{n} = a_1\cdot\frac{1-q^{n}}{1-q}\\\\S_6 = 3\cdot\frac{1-(\frac{1}{2})^{6}}{1-\frac{1}{2}} = 3\cdot\frac{1-\frac{1}{64}}{\frac{1}{2}}=6\cdot(\frac{64}{64}-\frac{1}{64}) = 6\cdot\frac{63}{64}}=3\cdot\frac{63}{32}=\frac{189}{32} =\boxed{ 5\frac{29}{32}}[/tex]