Question

Integración por partes: obtener el área, por la gráfica y=ln(x-2), eje x y la recta x=5.

A=[tex]\int\limits^5_3 ln({x}-2) \, dx[/tex]
Alguna persona que me ayude a sacar esa integral por partes.

Answer 1

Respuesta:

[tex]A=3ln(3)-2=1.2958unidades^2[/tex]

Explicación paso a paso:

[tex]\int\limits^5_3{ln(x-2)} \, dx[/tex]

Aplicamos integración por partes:

[tex]\int\limits {udv} \, dx=uv- \int\limits {vdu} \, dx[/tex]

Tomamos u y dv:

[tex]u=ln(x-2); dv=dx[/tex]

Hallamos du y v:

[tex]du=\frac{1}{x-2}dx[/tex]

[tex]v=x[/tex]

Reemplazamos:

[tex]\int\limits^5_3{ln(x-2)} \, dx=xln(x-2)|^5_2-\int\limits^5_3{\frac{x}{x-2} } \, dx[/tex]

Aplicamos los limites de [tex]xln(x-2)|^5_2[/tex]:

Recordar que el ln(1)=0

[tex](5)ln(5-2)-(3)ln(3-2)=5ln(3)[/tex]

Resolvemos [tex]-\int\limits^5_3{\frac{x}{x-2} } \, dx[/tex] mediante sustitución simple:

[tex]u=x-2\\du=dx\\x=u+2[/tex]

Limites:

Si x=3 entonces u=3-2, u=1

Si x=5 entonces u=5-2, u=3

[tex]-\int\limits^3_1{\frac{u+2}{u} } \, du[/tex]

Separamos fracciones homogéneas:

[tex]=-\int\limits^3_1{\frac{u}{u} } \, du-\int\limits^3_1{\frac{2}{u} } \, du[/tex]

Resolvemos las integrales directas:

[tex]=-\int\limits^3_1{ } \, du-\int\limits^3_1{\frac{2}{u} } \, du[/tex]

[tex]=(-u-2ln(u))^3_1[/tex]

Aplicamos los limites:

[tex]=-3-2ln(3)+1+2ln(1)=-2-2ln(3)[/tex]

Sumamos con [tex]5ln(3)[/tex]

[tex]A=[/tex][tex]-2-2ln(3)+5ln(3)=3ln(3)-2[/tex]

En decimales:

[tex]A=3ln(3)-2=1.2958unidades^2[/tex]