Question

Wyznacz niecalkowite wspolczynniki b i c równania [tex]x^{2}[/tex] + bx + c =0 tak ,aby równanie miało dwa rożne rozwiązania takie ,że suma ich odwrotnosci była równa [tex]\frac{5}{2\\}[/tex] a suma ich kwadratów była równa 21.

Answer 1

[tex]\huge\boxed{\begin{array}{ll}b=4\dfrac15,&c=-1\dfrac{17}{25}\end{array}}[/tex]

Wzory Viete'a

Jeżeli dane jest równanie kwadratowe ax²+bx+c=0 (a≠0) o pierwiastkach x₁, x₂, to:

[tex]\huge\boxed{\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}a\\\\x_1\cdot x_2=\dfrac{c}a\end{matrix}}[/tex]

Zadanie:

Dane jest równanie kwadratowe o postaci x²+bx+c=0. Należy wyznaczyć niecałkowite współczynniki b i c tak, aby równanie miało dwa różne rozwiązania takie, że suma ich odwrotności będzie równa ⁵/₂, a suma ich kwadratów będzie równa 21.

Założenia:

1. Współczynniki b i c są niecałkowite:
   [tex]\underline{\bold{\text{D: }b, c \notin \mathbb{Z}}}[/tex]
   
2. Suma odwrotności pierwiastków jest równa ⁵/₂:
   [tex]\dfrac1{x_1}+\dfrac1{x_2}=\dfrac52[/tex]
   
3. Suma kwadratów pierwiastków jest równa 21:
   [tex](x_1)^2+(x_2)^2=21[/tex]

Rozwiązanie:

W pierwszej kolejności przekształcimy równanie opisujące sumę odwrotności pierwiastków.

[tex]\dfrac1{x_1}+\dfrac1{x_2}=\dfrac52[/tex]

Aby dodać ułamki zwykłe, ich mianowniki muszą być takie same, zatem:

[tex]\dfrac{1\cdot x_2}{x_1\cdot x_2}+\dfrac{1\cdot x_1}{x_1\cdot x_2}=\dfrac52\\\\\\\dfrac{x_2+x_1}{x_1\cdot x_2}=\dfrac52[/tex]

W liczniku pojawił się wzór Viete'a na sumę pierwiastków, a w mianowniku - wzór na iloczyn pierwiastków. Podstawiamy odpowiednie wzory Viete'a i wyznaczamy jeden z szukanych współczynników.

[tex]\begin{array}{lll}\dfrac{-\frac{b}a}{\frac{c}a}=\dfrac52\\\\\\-\dfrac{b}a:\dfrac{c}a=\dfrac52\\\\\\-\dfrac{b}a\cdot \dfrac{a}c=\dfrac52\\\\\\-\dfrac{b}c=\dfrac52&|&\cdot (-c)\\\\\underline{\bold{b=-\dfrac52c}}\end{array}[/tex]

Zajmijmy się teraz sumą kwadratów tych pierwiastków. Zapiszmy ją z wykorzystaniem wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy:

         ⇒ (a+b)²=a²+2ab+b²

[tex]\begin{array}{lll}(x_1+x_2)^2=(x_1)^2+2x_1\cdot x_2+(x_2)^2&|&-2x_1x_2\\\\(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(x_1)^2+(x_2)^2\end{array}[/tex]

Do otrzymanego równania podstawiamy odpowiednie wzory Viete'a oraz wartość odpowiadającą sumie kwadratów pierwiastków z treści zadania.

[tex]\left(-\dfrac{b}a\right)^2-2\cdot \dfrac{c}a=21[/tex]

Z treści zadania wiemy, że współczynnik a równania jest równy 1, zatem:

[tex]\left(-\dfrac{b}1\right)^2-2\cdot \dfrac{c}1=21\\\\\underline{\bold{b^2-2c=21}}[/tex]

Do zmiennej b w otrzymanym równaniu podstawiamy równanie odpowiadające tej zmiennej, które wyznaczyliśmy wcześniej:

[tex]\begin{array}{lll}\left(-\dfrac52c\right)^2-2c=21&|&-21\\\\\dfrac{25}4c^2-2c-21=0\\\\\Delta=(-2)^2-4\cdot \dfrac{25}4\cdot (-21)\\\\\Delta=4+525=529\\\\\sqrt{\Delta}=23\\\\c_1=\dfrac{2-23}{2\cdot \frac{25}4}=\dfrac{-21}{\frac{25}2}=-21\cdot \dfrac2{25}=-\dfrac{42}{25}&\Rightarrow&\boxed{\bold{c=-1\dfrac{17}{25}\in\text{D}}}\\\\\\c_2=\dfrac{2+23}{2\cdot\frac{25}4}=\dfrac{25}{\frac{25}2}=25\cdot\dfrac2{25}=2&\Rightarrow&c=2\notin\text{D}\end{array}[/tex]

Obliczamy zmienną b dla wyznaczonej wartości c.

[tex]b=-\dfrac{5\!\!\!\!\diagup^1}{2\!\!\!\!\diagup_1}\cdot \left(-\dfrac{42\!\!\!\!\!\diagup^{21}}{25\!\!\!\!\!\diagup_5}\right)\\\\b=\dfrac{21}5\\\\\boxed{\bold{b=4\dfrac15 \in \text{D}}}[/tex]

_______________________________________________________

Równanie kwadratowe ma zatem postać:

[tex]\boxed{\boxed{\bold{x^2+\dfrac{21}5x-\dfrac{42}{25}=0}}}[/tex]

Sprawdźmy, czy nasze obliczenia są poprawne. Obliczmy wyróżnik równania.

[tex]\Delta=\left(\dfrac{21}5\right)^2-4\cdot 1\cdot \left(-\dfrac{42}{25}\right)\\\\\Delta=\dfrac{441}{25}+\dfrac{168}{25}=\dfrac{609}{25}\\\\\sqrt{\Delta}=\dfrac{\sqrt{609}}{5}[/tex]

Obliczamy pierwiastki równania:

[tex]x_1=\dfrac{-\frac{21}5-\frac{\sqrt{609}}5}{2\cdot 1}=\dfrac{\frac{-21-\sqrt{609}}5}{2}=-\dfrac{21+\sqrt{609}}5\cdot \dfrac12=-\dfrac{21+\sqrt{609}}{10}\\\\x_2=\dfrac{-\frac{21}5+\frac{\sqrt{609}}5}{2\cdot 1}=\dfrac{\frac{-21+\sqrt{609}}5}{2}=-\dfrac{21-\sqrt{609}}5\cdot \dfrac12=-\dfrac{21-\sqrt{609}}{10}[/tex]

Obliczamy sumę odwrotności tych pierwiastków:

[tex]-\dfrac{10}{21+\sqrt{609}}+\left(-\dfrac{10}{21-\sqrt{609}}\right)=-\dfrac{10}{21+\sqrt{609}}-\dfrac{10}{21-\sqrt{609}}=\\\\\\=-\dfrac{10(21-\sqrt{609})-10(21+\sqrt{609})}{(21+\sqrt{609})(21-\sqrt{609})}=-\dfrac{210+10\sqrt{609}-210-10\sqrt{609}}{21^2-609}=\\\\\\=-\dfrac{420}{441-609}=\dfrac{-420}{-168}=\underline{\bold{\dfrac52}}[/tex]

Obliczamy sumę kwadratów tych pierwiastków:

[tex]\left(-\dfrac{21+\sqrt{609}}{10}\right)^2+\left(-\dfrac{21-\sqrt{609}}{10}\right)^2=\dfrac{(21-\sqrt{609})^2}{100}+\dfrac{(21+\sqrt{609})^2}{100}=\\\\\\=\dfrac{441-42\sqrt{609}+609}{100}+\dfrac{441+42\sqrt{609}+609}{100}=\dfrac{1050-42\sqrt{609}+1050+42\sqrt{609}}{100}=\\\\\\=\dfrac{2100}{100}=\underline{\bold{21}}[/tex]

Answer 2

Odpowiedź:

[tex]\begin{cases}b=4,2\\c=-1,68\end{cases}[/tex]

Szczegółowe wyjaśnienie:

[tex]\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}=\frac{-b}{a}\cdot \frac{a}{c}=-\frac{b}{c}[/tex]

[tex]x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=\left(-\frac{b}{a}\right) ^2-2\cdot \frac{c}{a}=\frac{b^2-2ac}{a^2}[/tex]

[tex]x^2 + bx + c =0[/tex]

[tex]a=1[/tex]

[tex]\begin{cases}-\frac{b}{c}=\frac{5}{2}\\\frac{b^2-2ac}{a^2}=21 \end{cases}[/tex]

[tex]\begin{cases}c=-0,4b\\\frac{b^2-2\cdot1 c}{1^2}=21 \end{cases}[/tex]

[tex]\begin{cases}c=-0,4b\\\frac{b^2-2c}{1}=21 \end{cases}[/tex]

[tex]\begin{cases}b=-2,5c\\b^2-2\cdot(-0,4b)=21 \end{cases}[/tex]

[tex]\begin{cases}b=-2,5c\\b^2+0,8b=21\end{cases}[/tex]

[tex]b^2+0,8b=21[/tex]

[tex]b^2+0,8b-21=0[/tex]

[tex]\Delta=(0,8)^2-4\cdot1\cdot(-21)=0,64+84=84,64[/tex]

[tex]\sqrt{\Delta}=\sqrt{84,64}=9,2[/tex]

[tex]b_1=\frac{-0,8-9,2}{2\cdot1}=\frac{-10}{2}=-5 \notin C[/tex]

[tex]b_2=\frac{-0,8+9,2}{2\cdot1}=\frac{8,4}{2}=4,2\in C[/tex]

[tex]\begin{cases}b=4,2\\c=-0,4b \end{cases}[/tex]

[tex]\begin{cases}b=4,2\\c=-0,4\cdot 4,2 \end{cases}[/tex]

[tex]\begin{cases}b=4,2\\c=-1,68\end{cases}[/tex]