Która z poniższych liczb nie jest liczbą całkowitą:
a) [tex]a)\frac{20!}{26} \\b) \frac{20!}{28} \\c) \frac{20!}{27} \\d) \frac{20!}{29}[/tex]
a) [tex]a)\frac{20!}{26} \\b) \frac{20!}{28} \\c) \frac{20!}{27} \\d) \frac{20!}{29}[/tex]
Odpowiedź:
Nie jest liczbą całkowitą wartość wyrażenia z punktu d)
Szczegółowe wyjaśnienie:
Liczba: 20! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 * 10 * 11 * 12 * 13 * ... * (itd. aż do ) * 20 (włącznie)
Zatem liczbę 20! możemy przedstawić np. tak:
20! = 2 * 13 * (1 * 3 * 4 * 5 * (pozostałe czynniki z pierwotnej "rozpiski" liczby
20!) = 26 * (1 * 2 * 4 * 5 * ... * 20) = k * 26
gdzie: k = 1 * 2 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 * 10 * 11 * 12 * 14 * .... * 20
A wyrażenie: k*26 jest podzielne przez liczbę 26, co da w wyniku ...: k - LICZBĘ CAŁKOWITĄ.
Podobnie, jeżeli rozpiszemy liczbę 20! inaczej, a mianowicie:
20! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * ... * 20 = 4 * 7 * (1 * 2 * 3 * 5 * 6 * 8 * ... * 20)
= 28 * m
gdzie: m = 1 * 2 * 3 * 5 * 6 * 8 * ... * 20
A wyrażenie: 28*m jest podzielne przez liczbę 28, co da w wyniku ...: m - LICZBĘ CAŁKOWITĄ.
I również, gdy:
20! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 * 10 *... * 20
= 3 * 9 * (1 * 2 * 4 * 5 * 6 * 8 * 10 * ... * 20) = 27 * x
gdzie: x = 1 * 2 * 4 * 5 * 6 * 8 * 10 * ... * 20
A wyrażenie: 27*x jest podzielne przez liczbę 27, co da w wyniku ...: x - LICZBĘ CAŁKOWITĄ.
Takiego działania nie możemy wykonać tylko dla liczby 29, gdyż nie znajdziemy dwóch lub większej liczby liczb całkowitych , których iloczyn dałby w wyniku liczbę 29 z uwagi na fakt, że LICZBA 29 JEST LICZBĄ PIERWSZĄ.