Question

proszę o rozwiązanie tego problemu
[tex] \cos(x) + 2 \tan(x) \leqslant 2 + \sin(x) [/tex]
​

Answer 1

Odpowiedź:

cos[x] + 2tan[x] <= 2 + sin[x]

1. cos[x] + 2(sin[x] / cos[x]) <= 2 + sin[x]
2. cos^2[x] + 2sin[x] <= 2cos[x] + sin[x]
3. cos^2[x] - 2cos[x] + sin[x] - 2sin[x] <= 0
4. cos^2[x] - 2cos[x] - sin[x] <= 0

Skorzystajmy z tożsamości trygonometrycznych: cos^2[x] = 1 - sin^2[x]:

1 - sin^2[x] - 2cos[x] - sin[x] <= 0

Zastąpmy sin^2[x] jako (1 - cos^2[x]):

1 - (1 - cos^2[x]) - 2cos[x] - sin[x] <= 0

Uporządkujmy wyrażenie:

cos^2[x] - 2cos[x] - sin[x] - 1 <= 0

(cos[x] - 1)(cos[x] + 1) - (sin[x] + 1) <= 0

-1 <= cos[x] <= 1

-1 <= sin[x] <= 0

To oznacza, że rozwiązaniem nierówności są te wartości kątów, dla których cosinus zawiera się w przedziale [-1, 1] i sinus zawiera się w przedziale [-1, 0].