Question

rozwiąż równanie: [tex]a)\ x^4 - x^2 - 6 = 0\\b)\ 2x^4 - 12x^2 + 10 = 0[/tex]

Answer 1

[tex]\huge\begin{array}{ccc}a)&x=-\sqrt3\ \vee\ x=\sqrt3\end{array}[/tex]

[tex]\huge\begin{array}{ccc}b)&x\in\left\{-\sqrt5,-1,\ 1,\ \sqrt5\right\}\end{array}[/tex]

Równanie prowadzące do równania kwadratowego.

Równanie kwadratowe to równanie, w którym niewiadoma występuje w drugiej potędze.

Najczęściej używaną metodą rozwiązywania równań kwadratowych jest metoda za pomocą wyróżnika trójmianu kwadratowego.

Trójmian kwadratowy:

[tex]ax^2+bx+c[/tex]

Wyróżnik trójmianu kwadratowego:

[tex]\Delta=b^2-4ac[/tex]

Liczba pierwiastków rzeczywistych równania kwadratowego w zależności od wyróżnika:

• jeżeli Δ < 0, to równanie nie ma pierwiastków rzeczywistych;
• jeżeli Δ = 0, to równanie ma dwukrotny pierwiastek postaci
  [tex]x_0=\dfrac{-b}{2a}[/tex]
• jeżeli Δ > 0, to równanie ma dwa różne pierwiastki postaci
  [tex]x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}[/tex]

Twierdzenie:

[tex]\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}[/tex]

ROZWIĄZANIE:

a)

[tex]x^4-x^2-6=0\\\\\left(x^2\right)^2-x^2-6=0[/tex]

robimy podstawienie: [tex]x^2=t\geq0[/tex]

[tex]t^2-t-6=0[/tex]

otrzymujemy równanie kwadratowe, w którym:

[tex]a=1,\ b=-1,\ c=-6[/tex]

obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego:

[tex]\Delta=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-6)=1+24=25 > 0[/tex]

czyli równanie ma dwa różne pierwiastki

[tex]\sqrt\Delta=\sqrt{25}=5\\\\t_1=\dfrac{-(-1)-5}{2\cdot1}=\dfrac{1-5}{2}=\dfrac{-4}{2}=-2 < 0\\\\t_2=\dfrac{-(-1)+5}{2\cdot1}=\dfrac{1+5}{2}=\dfrac{6}{2}=3 > 0[/tex]

Wracamy do podstawienia:

[tex]t=3\to x^2=3\\\\x^2=3\Rightarrow x=\pm\sqrt3[/tex]

[tex]\huge\begin{array}{ccc}x=-\sqrt3\ \vee\ x=\sqrt3\end{array}[/tex]

b)

[tex]2x^4-12x^2+10=0\qquad|:2\\\\x^4-6x^2+5=0\\\\\left(x^2\right)^2-6x^2+5=0\\\\x^2=t\geq0\\\\t^2-6t+5=0\\\\a=1,\ b=-6,\ c=5\\\\\Delta=(-6)^2-4\cdot1\cdot5=36-20=16 > 0\\\\\sqrt\Delta=\sqrt{16}=4\\\\t_1=\dfrac{-(-6)-4}{2\cdot1}=\dfrac{6-4}{2}=\dfrac{2}{2}=1 > 0\\\\t_2=\dfrac{-(-6)+4}{2\cdot1}=\dfrac{6+4}{2}=\dfrac{10}{2}=5 > 0[/tex]

[tex]t_1=1\to x^2=1\\\\x^2=1\Rightarrow x=\pm\sqrt1\\\\\huge\begin{array}{ccc}x=-1\ \vee\ x=1\end{array}[/tex]

[tex]t_2=5\to x^2=5\\\\x^2=5\Rightarrow x=\pm\sqrt5\\\\\huge\begin{array}{ccc}x=-\sqrt5\ \vee\ x=\sqrt5\end{array}[/tex]