Question

Berapa hasil penjumlahan dari deret tak hingga ini?
[tex]\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\frac{4}{2^4}+\frac{5}{2^5}+...[/tex]

Answer 1

Verified answer

Hasil penjumlahan dari deret tak hingga
[tex]\begin{aligned}&\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\frac{4}{2^4}+\frac{5}{2^5}+{\dots}\end{aligned}[/tex]
adalah 2.
 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Deret Tak Hingga

Diberikan deret tak hingga:

[tex]\begin{aligned}\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\frac{4}{2^4}+\frac{5}{2^5}+{\dots}\end{aligned}[/tex]

Rumus suku ke-n deret tersebut adalah:

[tex]\begin{aligned}U_n&=\frac{n}{2^n}=n\left(\frac{1}{2}\right)^n\end{aligned}[/tex]

Maka, jumlah tak hingganya dapat dinyatakan dengan:

[tex]\begin{aligned}S_{\infty}&=\sum_{n=1}^{\infty}\left[n\left(\frac{1}{2}\right)^n\right]\end{aligned}[/tex]

Pada deret geometri tak hingga [tex]x+x^2+x^3+{\dots}[/tex] di mana [tex]|x| < 1[/tex], jumlah tak hingganya adalah:

[tex]\begin{aligned}\sum_{n=1}^{\infty}x^n&=\frac{x}{1-x}\end{aligned}[/tex]

Kita turunkan terhadap [tex]x[/tex].

[tex]\begin{aligned}\frac{d}{dx}\sum_{n=1}^{\infty}x^n&=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{1-x}\right)\\\sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1}&=\frac{\frac{d}{dx}(x)\cdot(1-x)-\frac{d}{dx}(1-x)\cdot x}{(1-x)^2}\\\sum_{n=1}^{\infty}\frac{nx^n}{x}&=\frac{1-x+x}{(1-x)^2}\\\frac{1}{x}\sum_{n=1}^{\infty}nx^n&=\frac{1}{(1-x)^2}\\\therefore\ \sum_{n=1}^{\infty}nx^n&=\boxed{\,\frac{x}{(1-x)^2}\,}\\\end{aligned}[/tex]

Oleh karena itu:

[tex]\begin{aligned}\sum_{n=1}^{\infty}nx^n&=\frac{x}{(1-x)^2}\\\sum_{n=1}^{\infty}n\left(\frac{1}{2}\right)^n&=\frac{\frac{1}{2}}{\left(1-\frac{1}{2}\right)^2}\\&=\frac{\ \frac{1}{2}\ }{\frac{1}{4}}\\&=\boxed{\,\bf2\,}\end{aligned}[/tex]

KESIMPULAN

Dengan demikian, hasil penjumlahan dari deret tak hingga
[tex]\begin{aligned}&\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\frac{4}{2^4}+\frac{5}{2^5}+{\dots}\end{aligned}[/tex]
adalah 2.