Question

tentukan HP dari pertidaksamaan irasional berikut.
[tex] \sqrt{x + 15} \leqslant x + 3[/tex]
​

Answer 1

Diketahui pertidaksamaan irasional:

[tex]\sqrt{x + 15} \leq x + 3 [/tex]

Untuk menentukan himpunan penyelesaiannya, terdapat beberapa langkah yaitu:

Pertama, tentukan syarat domain terbesar. Fungsi irasional memiliki syarat domain dimana nilai di dalam akar harus non-negatif. Maka berlaku:

[tex] x+15 \geq 0 \Leftrightarrow x\geq -15[/tex]

Selanjutnya, tentukan nilai [tex] \bf x. [/tex] Perlu diingat bahwa [tex] x+3 [/tex] bisa bernilai negatif atau non-negatif.

Untuk [tex] x+3 <0 \Leftrightarrow x<-3, [/tex] maka tidak ada penyelesaian nilai [tex] x [/tex] yang memenuhi, karena tidak mungkin nilai ruas kiri (non-negatif) kurang dari nilai ruas kiri (negatif).

Untuk [tex] x+3 \geq 0 \Leftrightarrow x\geq -3, [/tex] maka berlaku:

[tex] \begin{aligned} (\sqrt{x + 15})^2& \leq (x + 3)^2 \\ x+15 &\leq (x+3)^2 \\ x+15-(x+3)^2 &\leq 0 \\ x+15-x^2-6x-9&\leq 0 \\ -x^2-5x+6 &\leq 0 \\ x^2 +5x-6 &\geq 0 \\ (x+6)(x-1) &\geq 0 \\ x\leq -6 \text{ atau }x&\geq 1\end{aligned} [/tex]

Tarik kesimpulan.

Diperoleh [tex] x\leq -6 [/tex] atau [tex] x\geq 1.[/tex] Iriskan dengan syarat-syarat pertidaksamaan yaitu [tex] x\geq -15 [/tex]dan [tex] x\geq -3, [/tex] maka [tex] x\geq 1.[/tex]

Maka, himpunan penyelesaian untuk pertidaksamaan tersebut adalah:

[tex]\therefore \text{HP} = \{ x|\:x\geq 1,x\in\R \} [/tex]

[tex] \colorbox{Orange}{\color{white}{\#ImaginaryMe}} [/tex]