Question

tentukan HP dari pertidaksamaan irasional berikut.
[tex] \sqrt{3x + 2} \leqslant \sqrt{4 - x} [/tex]
​

Answer 1

Diberikan pertidaksamaan irasional sebagai berikut.

[tex] \sqrt{3x + 2} \leq \sqrt{4 - x} [/tex]

Untuk menentukan himpunan penyelesaiannya, diperlukan beberapa langkah berikut.

Pertama, tentukan syarat domain terbesar. Fungsi irasional memiliki syarat domain dimana nilai di dalam akarnya harus non-negatif. Maka berlaku:

[tex] \begin{aligned} 3x+2 &\geq 0 \qquad\quad & 4-x &\geq 0 \\ 3x &\geq -2 & -x &\geq -4 \\ x &\geq -\frac23 & x&\leq 4 \end{aligned} [/tex]

Iriskan kedua syarat tersebut didapat syarat pertidaksamaannya adalah [tex] - \frac23 \leq x\leq 4.[/tex]

Selanjutnya, tentukan nilai [tex] \bf x. [/tex] Karena ruas kiri dan kanan sama-sama akar, maka penyelesaiannya dapat langsung dikuadratkan.

[tex] \begin{aligned} (\sqrt{3x + 2})^2 &\leq (\sqrt{4 - x} )^2\\ 3x+2 &\leq 4-x \\ 3x+x &\leq 4-2 \\ 4x &\leq 2 \\ x &\leq \frac12\end{aligned} [/tex]

Tarik kesimpulan. Hasil perhitungan diperoleh [tex]x\leq \frac12. [/tex] Iriskan dengan syarat sehingga didapat [tex]- \frac23 \leq x\leq \frac{1}{2}. [/tex]

Jadi, himpunan penyelesaian untuk pertidaksamaan tersebut adalah:

[tex] \text{HP} = \{ x| - \frac23 \leq x\leq \frac{1}{2},x\in\R \} [/tex]

[tex] \colorbox{Orange}{\color{white}{\#ImaginaryMe}} [/tex]