Przyjmijmy oznaczenia:
p - prawdopodobieństwo, że po umieszczeniu 6 ponumerowanych h kul w 9 szufladach każda kula znajduje się w innej szufladzie
q - prawdopodobieństwo, że po umieszczeniu 5 ponumerowanych kul w 8 szufladach każda kula znajduje się w innej szufladzie
a) wykaż, że p < q
b) oblicz iloraz [tex]\frac{q}{p}[/tex]
p - prawdopodobieństwo, że po umieszczeniu 6 ponumerowanych h kul w 9 szufladach każda kula znajduje się w innej szufladzie
q - prawdopodobieństwo, że po umieszczeniu 5 ponumerowanych kul w 8 szufladach każda kula znajduje się w innej szufladzie
a) wykaż, że p < q
b) oblicz iloraz [tex]\frac{q}{p}[/tex]
Prawdopodobieństwo - kule i szuflady.
[tex]p[/tex] - prawdopodobieństwo, że po umieszczeniu 6 ponumerowanych kul w 9 szufladach każda kula znajduje się w innej szufladzie
[tex]|\Omega|=9^6[/tex]
[tex]|A|=9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4[/tex]
Stąd mamy:
[tex]p=\dfrac{9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4}{9^6}=\dfrac{9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4}{9\cdot9^5}=\dfrac{8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4}{9^5}\approx0,1138[/tex]
[tex]q[/tex] - prawdopodobieństwo, że po umieszczeniu 5 ponumerowanych kul w 8 szufladach każda kula znajduje się w innej szufladzie
[tex]|\Omega|=8^5\\\\|B|=8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4[/tex]
Stąd mamy:
[tex]q=\dfrac{8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4}{8^5}=\dfrac{7\cdot6\cdot5\cdot4}{8^4}\approx0,2051[/tex]
a)
[tex]\left\begin{array}{ccc}p\approx0,1138\\\\q\approx0,2051\end{array}\right\}\Rightarrow p < q[/tex]
b)
[tex]\dfrac{p}{q}=\dfrac{8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4}{9^5}:\dfrac{7\cdot6\cdot5\cdot4}{8^4}=\dfrac{8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4}{9^5}\cdot\dfrac{8^4}{7\cdot6\cdot5\cdot4}=\dfrac{8\cdot8^4}{9^5}=\dfrac{8^5}{9^5}\\\\\boxed{\dfrac{p}{q}=\left(\dfrac{8}{9}\right)^5}[/tex]