Question

Ze zbioru (1,2,...,2n+1) , n∈N, losujemy jednocześnie dwie liczby. Dla jakich wartości n prawdopodobieństwo wylosowania liczb, których suma jest liczbą parzystą, jest ,mniejsza od [tex]\frac{10}{21}[/tex] ?

Answer 1

[tex]\displaystyle\\|\Omega|=\binom{2n+1}{2}=\dfrac{(2n+1)!}{2!(2n-1)!}=\dfrac{2n(2n+1)}{2}=2n^2+n\\[/tex]

• w zbiorze [tex]\{1,2,\ldots,2n+1\}[/tex] wszystkich liczb jest [tex]2n+1[/tex]
• losujemy 2 z nich (kolejność nie ma znaczenia)

[tex]\displaystyle|A|=\binom{n}{2}+\binom{n+1}{2}=\dfrac{n!}{2!(n-2)!}+\dfrac{(n+1)!}{2!(n-1)!}=\dfrac{n(n-1)}{2}+\dfrac{n(n+1)}{2}=\\=\dfrac{n^2-n+n^2+n}{2}=\dfrac{2n^2}{2}=n^2[/tex]

• suma dwóch liczb jest parzysta, gdy obie liczby są parzyste lub obie nieparzyste
• parzystych w tym zbiorze jest [tex]n[/tex] a nieparzystych [tex]n+1[/tex]
• losujemy po 2 z każdego zbioru

[tex]P(A)=\dfrac{n^2}{2n^2+n} < \dfrac{10}{21}\\\\\\\dfrac{n^2}{2n^2+n} < \dfrac{10}{21}\\\\21n^2 < 10(2n^2+n)\\21n^2 < 20n^2+10n\\n^2-10n < 0\\n(n-10) < 0\\n\in(0,10)[/tex]

[tex]n\in(0,10)\wedge n\in\mathbb{N}\\\boxed{n\in\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}}[/tex]