Question

Oblicz objętość graniastosłupa prostego przedstawionego na rysunku, jeśli:


c) podstawa ABCDEF jest sześciokątem foremnym, |AD1| = 10 , natomiast cosinus kąta między dłuższą przekątną graniastosłupa a krawędzią boczną jest równy [tex]\frac{3}{5}[/tex]

Answer 1

Odpowiedź:

Szczegółowe wyjaśnienie:

|AB| - krawędź podstawy - a

|AD| - przekątna podstawy

|AD1| - dłuższa przekątna graniastosłupa

|DD1| - krawędź boczna

kąt (A D1 D) - kąt między dłuższą przekątną a krawędzią boczną (α)

|AD| = 2*a

|AD1| = 10

[tex]cos(\alpha ) = \frac{|DD1|}{|AD1|} \\\\cos(\alpha) = \frac{3}{5}\\\\\frac{|DD1|}{|AD1|} = \frac{3}{5} \\\\\frac{|DD1|}{10} = \frac{3}{5} \\\\5|DD1| = 10 * 3\\\\5|DD1| = 30 // :5\\\\|DD1| = 6\\\\[/tex]

|AD|² = |AD1|² - |DD1|²

|AD|² = 10² - 6²

|AD|² = 100 - 36

|AD|² = 64

|AD| = √64

|AD| = 8

|AD| = 2 * a

8 = 2 * a // :2

a = 4

Pole podstawy:

[tex]Pp = 6 (\frac{a^2\sqrt{3} }{4} )\\\\Pp = 6 (\frac{4^2\sqrt{3} }{4} )\\\\Pp = 6 (\frac{16\sqrt{3} }{4} )\\\\Pp = 6 * 4\sqrt{3} \\\\Pp = 24\sqrt{3} \\\\[/tex]

Objętość:

[tex]V = Pp * H\\\\V = 24\sqrt{3} * |DD1|\\\\V = 24\sqrt{3} * 6\\\\V = 144\sqrt{3} \\\\[/tex]