Carilah nilai [tex]\displaystyle x,y,z[/tex] dari sistem persamaan berikut
[tex]\large \left\{\begin{matrix}\begin{aligned}4^{-x+4y-3z}&=\left ( \frac{1}{16} \right )^{x-y+z-3}\\\log(2x-y+z)&=\frac{1}{1+^5\log 2}\\\begin{vmatrix}3x & -y\\ -2z & 1\end{vmatrix}&=13\end{aligned}\end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\large \left\{\begin{matrix}\begin{aligned}4^{-x+4y-3z}&=\left ( \frac{1}{16} \right )^{x-y+z-3}\\\log(2x-y+z)&=\frac{1}{1+^5\log 2}\\\begin{vmatrix}3x & -y\\ -2z & 1\end{vmatrix}&=13\end{aligned}\end{matrix}\right.[/tex]
Materi: Sistem Persamaan Non Linear
Jawaban:
[tex]\begin{aligned}x&=\frac{1}{60}(209-i\sqrt{119})\\
y&=\frac{1}{20}(11+i\sqrt{119})\\
z&=\frac{1}{12}(i\sqrt{119}-17)\end{aligned}[/tex]
Penjelasan dengan langkah-langkah:
Untuk menyelesaikan ini, kita perlu mengubah bentuk persamaannya menjadi bentuk yang paling sederhana.
+ Selesaikan persamaan eksponen dahulu
[tex]\begin{aligned}4^{-x+4y-3z}&=\left(\frac{1}{16}\right)^{x-y+z-3}\\
4^{-x+4y-3z}&={(4^{-2})}^{x-y+z-3}\\
4^{-x+4y-3z}&=4^{-2x+2y-2z+6}\\
-x+4y-3z&=-2x+2y-2z+6\\
x+2y-z&=6...(1)\end{aligned}[/tex]
+ Selanjutnya, kita selesaikan persamaan logaritma
[tex]\begin{aligned}\log{(2x-y+z)}&=\frac{1}{1+^5\log{2}}\\
\log{(2x-y+z)}&=\frac{1}{^5\log{5}+^5\log{2}}\\
\log{(2x-y+z)}&=\frac{1}{^5\log{(5.2)}}&=\frac{1}{^5\log{10}}\\
\log{(2x-y+z)}&=\log{5}\\
2x-y+z&=5...(2)\end{aligned}[/tex]
+ Terakhir, gunakan determinan matriks
[tex]\begin{aligned}\begin{vmatrix}3x & -y\\ -2z & 1\end{vmatrix}&=13\\
(3x)(1)-(-y)(-2z)&=13\\
3x-2yz&=13...(3)\end{aligned}[/tex]
Sekarang, tinggal kita selesaikan sistem persamaannya. Disini saya gunakan metode substitusi saja.
Pada persamaan (1)
x+2y-z = 6
x = 6-2y+z
Substitusikan x = 6-2y+z kepada persamaan (2) sehingga diperoleh:
[tex]\begin{aligned}2x-y+z&=5\\
2(6-2y+z)-y+z&=5\\
12-4y+2z-y+z&=5\\
3z-5y&=-7\\
3z&=5y-7\\
z&=\frac{1}{3}(5y-7)\end{aligned}[/tex]
Substitusikan juga x = 6-2y+z kepada persamaan (3)
[tex]\begin{aligned}3(6-2y+z)-2yz&=13\\
18-6y+3z-2yz&=13\\
z(3-2y)-6y&=-5\\
z(3-2y)-6y+5&=0\end{aligned}[/tex]
Karena z = ⅓(5y-7), maka persamaan tadi menjadi:
[tex]\begin{aligned}\frac{(5y-7)(3-2y)}{3}-6y+5&=0\,(\times 3)\\(15y-10y²-21+14y)-18y+15&=0\\
-10y²+(15+14-18)y-6&=0\\
-10y²+11y-6&=0\,(\times -1)\\
10y²-11y+6&=0\end{aligned}[/tex]
Sekarang, karena y membentuk persamaan kuadrat, kita cek dahulu nilai deskriminannya.
D = b²-4ac
D = (-11)²-4(10)(6)
D = 121-240 = -119
D < 0
Karena D < 0, maka akar dari y kemungkinan bilangan kompleks, gunakan rumus ABC.
[tex]\begin{aligned}y_{1,2}&=\frac{-b±\sqrt{D}}{2a}\\
&=\frac{11±\sqrt{-119}}{20}\\
&=\frac{11±i\sqrt{119}}{20}\end{aligned}[/tex]
+ Penentuan nilai z jika y = 1/20(11+i√119)
[tex]\begin{aligned}z&=\frac{5\left(\frac{11+i\sqrt{119}}{20}\right)-7}{3}\\
z&=\frac{\frac{11+i\sqrt{119}-28}{4}}{3}\\
z&=\frac{i\sqrt{119}-17}{12}\end{aligned}[/tex]
+ Penentuan nilai x jika y = 1/20(11+i√119)
[tex]\begin{aligned}x&=6-2y+z\\
&=6-2\left(\frac{11+i\sqrt{119}}{20}\right)+\frac{i\sqrt{119}-17}{12}\\
&=6-\frac{11+i\sqrt{119}}{10}+\frac{i\sqrt{119}-17}{12}\\
&=\frac{360-(66+6i\sqrt{119})+(5i\sqrt{119}-85)}{60}\\
&=\frac{209-i\sqrt{119}}{60}\end{aligned}[/tex]
Verified answer
Aljabar
persamaan 1
-x + 4y - 3z = -2(x - y + z - 3)
x + 2y - z = 6
persamaan 2
log (2x - y + z) = 1/⁵log (5 × 2)
log (2x - y + z) = log 5
2x - y + z = 5
persamaan 3
koreksi soal
3x(1) - (-y - 2z)(1) = 13
3x + y + 2z = 13
Jumlahkan pers (1) dan (2)
3x + y = 11
3x + y + 2z = 13
3x + y = 11_____-
2z = 2
z = 1
Jumlahkan pers (2) dan (3)
5x + 3z = 18
5x = 18 - 3
x = 3
3x + y = 11
9 + y = 11
y = 2
(x, y, z) = (3, 2, 1)