Question

Pochodne i zastosowania
Rozdział 10: Zadania optymalizacyjne
Zad. 5: Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność:
[tex] {x}^{4} - {x}^{2} - 2x + 3 > 0[/tex]
​

Answer 1

[tex]x^4 -x^2 -2x + 3 > 0[/tex]

zapiszmy to trochę inaczej (dodajmy "sztuczne" 0)

[tex]x^4 -x^2 +(x^2 - x^2) - 2x + 3\\[/tex]

i pogrupujmy

[tex](x^4 - 2x^2 + 1) + (x^2 -2x + 1) + 1[/tex]

skorzystajmy ze wzoru skróconego mnożenia

[tex](a - b)^2 = a^2 -2ab + b^2[/tex]

[tex]x^4 - 2x^2 + 1 = (x^2 - 1) ^ 2\\x^2 -2x + 1 = (x - 1) ^ 2[/tex]

wiemy, że kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny, stąd

[tex](x^2 - 1) ^ 2 \geq 0\\(x - 1) ^ 2 \geq 0[/tex]

a zatem

[tex](x^2 -1)^2 + (x-1)^2 \geq 0\\[/tex]

dodajmy obustronnie 1

[tex](x^2 -1)^2 + (x-1)^2 + 1 \geq 1\\[/tex]

ponieważ 1 > 0, więc z tego wynika, że

[tex](x^2 - 1)^2 + (x-1)^2 + 1 > 0[/tex]

Co należało udowodnić

Answer 2

Verified answer

Cześć!

Niech [tex]f(x)=x^4-x^2-2x+3[/tex].

Wobec tego:

[tex]f'(x)=4x^3-2x-2[/tex]

Wyznaczmy miejsca zerowe pochodnej:

[tex]f'(x)=0 \iff 4x^3-2x-2=0[/tex]. Zauważmy, że pierwiastkiem jest 1, więc wielomian można zapisać jako [tex](x-1)(4x^2+4x+2)[/tex]. Trójmian nie ma pierwiastków, więc jedynym rozwiązaniem jest [tex]x=1[/tex].

Obliczmy drugą pochodną:

[tex]f''(x)=12x^2-2[/tex]

Wartość drugiej pochodnej w x=1 wynosi:

[tex]f''(1)=12-2=10 > 0[/tex], wobec czego [tex]x=1[/tex] jest minimum lokalnym.

Policzmy granicę funkcji w nieskończonościach:

[tex]\lim_{x \to -\infty} f(x)= \lim_{x \to \infty} f(x)= +\infty[/tex], co implikuje fakt, że [tex]x=1[/tex] jest minimum globalnym. Wobec tego zbiór wartości funkcji to [tex]V=\langle 1;+\infty)[/tex], co kończy dowód.

Pozdrawiam!