Question

Pomocy błagam
Porównaj liczby ( wykonaj odpowiednie działania na potęgach
i zapisz je jako uzasadnienie otrzymanego wyniku)

[tex]y = (\frac{\sqrt{8} }{64})^{-6}[/tex]
[tex]x = (2\sqrt{2})^{28}[/tex]

Answer 1

[tex]\Large\text{$y < x$}[/tex]

Działania na potęgach

o jednakowych podstawach oznaczają wykonywanie działań na ich wykładnikach "o jeden stopień późniejszych" w kolejności wykonywania działań niż działanie na potęgach (mnożenie jeśli potęgujemy, odejmowanie jeśli dzielimy itd.)

Opisane są one wzorami:

• mnożenie potęg:  [tex]a^x\cdot a^y=a^{x+y}[/tex]
• dzielenie potęg:   [tex]\dfrac{a^x}{a^y}=a^x: a^y=a^{x-y}[/tex]
• potęgowanie potęgi:  [tex]\big(a^x\big)^y=a^{x\cdot y}[/tex]

Dodatkowo korzystamy ze wzorów:

•        [tex]a^x=\big(\frac1a\big)^{-x}[/tex]   {odwracając podstawę zmieniamy znak wykładnika}
•        [tex]\sqrt[x]{a}=\big a^{\frac1x}[/tex]      {pierwiastek jest potęgą o wykładniku wymiernym}

W zadaniu wszystkie liczby są "wyliczonymi" potęgami liczby 2, więc liczby x i y sprowadzamy do postaci potęg o podstawie 2:

[tex]\large\text{$y=\left(\frac{\sqrt8}{64}\right)^{-6}= \bigg(\frac{\left(2^3\right)^\frac12}{2^6}\bigg)^{-6} =\bigg(\frac{2^6}{2^{\frac32}}\bigg)^6 = \Big(\big2^{6-1\frac12}\Big)^6 =\Big(\big2^{4\frac12}\Big)^6= $}\\\\\\{}\qquad \large\text{$=\big2^{\frac92\cdot6}=$}\ \Large\text{$\bold{2^{27}}$}[/tex]

[tex]\large\text{$x=\Big(2\sqrt2\Big)^{28}= \Big(2\cdot2^\frac12\Big)^{28} = \Big(2^\frac32\Big)^{28} =\big2^{\frac32\cdot28}= $}\ \Large\text{$\bold{2^{42}}$}[/tex]

Jeżeli dwie potęgi mają jednakowe podstawy większe niż 1, to większą potęgą jest ta, która ma wyższy wykładnik.

[tex]\Large\text{$\bold{28 < 42\quad\implies\quad 2^{28} < 2^{42}\quad\implies\quad \huge\boxed{\bold{\big\, y < x\,}}}$}[/tex]

Uwaga dodatkowa:

[tex]2\sqrt2=\sqrt8[/tex]  i  [tex]64=8^2=\big(\sqrt8\,\big)^4[/tex]więc do porównania można również sprowadzić liczby x i y do postaci potęg o podstawie 8 lub o podstawie √8.

Wtedy byłoby mniej przekształceń, ale ja lubię małe liczby :)