Question

Plis pomocy daje naj [tex]\frac{(\sqrt[4]{3})^{8} }{(\sqrt{27})^{-4} } : (3^{-8}:3^{-10})^{5}[/tex]

Answer 1

[tex]\dfrac{(\sqrt[4]{3})^{8} }{(\sqrt{27})^{-4} } : \big(3^{-8}:3^{-10}\big)^{5}= \\\\\\ = \dfrac{\big(3^\frac14\big)^{8} }{(\sqrt{3^3})^{-4} } : \big(3^{-8-(-10)}\big)^{5}= \\\\\\ = \dfrac{3^{\frac14\cdot8} }{(3^\frac32)^{-4} } : \big(3^2\big)^{5}= \\\\\\ = \dfrac{3^2}{3^{-6} } : 3^{2\cdot5} = \\\\\\ = \big3^{2-(-6)}:3^{10} = \\\\\\ = \big3^{8}:3^{10}= \\\\\\ = \big3^{8-10} = \\\\\\ \large\text{$= \bold{ 3^{-2}=\big(\frac13\big)^2=\frac19}$}[/tex]

Nie wiem w jakiej postaci miał być wynik końcowy, dlatego trzy wersje.

1. W postaci potęgi o podstawie naturalnej i wykładniku całkowitym.
2. W postaci potęgi o wykładniku naturalnym.
3. W postaci liczby (jeśli polecenie brzmiało "Oblicz")

W obliczeniach wykorzystaliśmy wzory:

 [tex]a^x\cdot a^y=a^{x+y}[/tex]   {mnożenie potęg o jednakowych podstawach}

[tex]\dfrac{a^x}{a^y}=a^x: a^y=a^{x-y}[/tex]   {dzielenie potęg o jednakowych podstawach}

 [tex]\big(a^x\big)^y=a^{x\cdot y}[/tex]      {potęgowanie potęgi}

[tex]a^x=\big(\frac1a\big)^{-x}[/tex]   {zmiana znaku wykładnika}

 [tex]\large\text{$\sqrt[x]{a^y}=\big a^{\frac yx}$}[/tex]      {zamiana pierwiastka na potęgę o wykładniku wymiernym}

Answer 2

Odpowiedź:

[tex]\huge\boxed{\frac{(\sqrt[4]{3})^{8}}{(\sqrt{27})^{-4}}:(3^{-8}:3^{-10})^{5} = \frac{1}{9}}[/tex]

Szczegółowe wyjaśnienie:

Korzystamy z praw potęgowania:

Dzielenie potęg o tej samej podstawie:  [tex]a^{m}:a^{n} = a^{m-n}[/tex]

Potęga potęgi:  [tex](a^{m})^{n} = a^{m\cdot n}[/tex]

Potęga o wykładniku całkowitym:  [tex]a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}[/tex]

[tex]\frac{(\sqrt[4]{3})^{8}}{(\sqrt{27})^{-4}}:(3^{-8}:3^{-10})^{5}=\frac{(3^{\frac{1}{4}})^{8}}{((3^{3})^{\frac{1}{2}})^{-4}}:(3^{8-(-10)})^{5} = \frac{3^{\frac{1}{4}\cdot8}}{3^{3\cdot\frac{1}{2}\cdot(-4)}}:(3^{-8+10})}^{5}=\\\\=\frac{3^{2}}{3^{-6}}:(3^{2})^{5}=3^{2-(-6)}:3^{2\cdot5}=3^{8}:3^{10} = 3^{8-10}=3^{-2} = \frac{1}{3^{2}} =\boxed{\frac{1}{9}}[/tex]