[tex] f(x) [/tex] adalah suku banyak berderajat tiga. [tex] (x^2+x-12) [/tex] adalah faktor dari [tex] f(x) [/tex]. Jika [tex] f(x) [/tex] dibagi oleh [tex] (x^2+x-6) [/tex] bersisa [tex] -6x+6 [/tex], maka suku banyak tersebut adalah [tex] ... [/tex]
Verified answer
Dari yang diketahui di soal berlaku:
[tex]\begin{align} f(x) &= (x^2+x-12)\: h_1(x) & \green{(...1)} \\ f(x) &= (x^2+x-6)\: h_2(x) +(-6x+6) & \green{(...2)}\end{align} [/tex]
Catatan: karena [tex] (x^2+x-12) [/tex] adalah faktor dari [tex] f(x) [/tex] maka sisa pembagiannya adalah nol.
Pada persamaan [tex] (2), [/tex] bentuk [tex] (x^2+x-6) [/tex] dapat difaktorkan menjadi [tex] (x-2)(x+3) [/tex], sehingga dapat ditulis:
[tex] f(x) = (x-2)(x+3) \:h_2(x) -6x+6 [/tex]
Substitusi [tex] x=2[/tex], sehingga:
[tex] \begin{align} f(2) &= (2-2)(2+3)\:h_2(x) -6(2)+6 \\ &= 0-12+6 \\ &= -6 \end{align} [/tex]
Substitusi [tex] x=-3 [/tex], sehingga:
[tex] \begin{align} f(-3) &= (-3-2)(-3+3)\:h_2(x) -6(-3)+6 \\ &= 0+18+6 \\ &= 24 \end{align} [/tex]
Selanjutnya, karena [tex] f(x) [/tex] berderajat [tex] 3 [/tex] dan [tex] (x^2+x-12) [/tex] berderajat [tex] 2 [/tex], maka hasilnya dapat dimisalkan [tex] h_1(x) = ax+b [/tex]. Sehingga, bentuk persamaan [tex] (1) [/tex] dapat ditulis:
[tex] f(x) = (x^2+x-12)(ax+b) [/tex]
Substitusi [tex] x=2 [/tex], sehingga:
[tex]\begin{align} f(2) &= (2^2+2-12)(a(2)+b) \\ -6 &= -6(2a+b) \\ 2a+b &= 1\end{align} [/tex]
Substitusi [tex]x=-3 [/tex], sehingga:
[tex] \begin{align} f(-3) &= ((-3)^2+(-3)-12)(a(-3)+b) \\ 24 &= -6(-3a+b) \\ -3a+b &= -4 \\ 3a-b &= 4\end{align} [/tex]
Diperoleh SPLDV : [tex] \begin{cases} 2a+b &\!\!\!\!= 1 \\ 3a-b &\!\!\!\!= 4 \end{cases} [/tex]
Eliminasi [tex] b [/tex] dari sistem persamaan:
[tex] \begin{array}{rclr} 2a+\cancel{\red{b}} &\!\!\!\!=&\!\!\!\! 1 \\ 3a-\cancel{\red{b}} &\!\!\!\!=&\!\!\!\! 4 &\!\!\!\! +\!\!\! \\ \hline 5a &\!\!\!\!=&\!\!\!\! 5 \\ a &\!\!\!\!=&\!\!\!\! 1\end{array} [/tex]
Substitusi [tex] a=1 [/tex] ke salah satu persamaan pada SPLDV, misal pada persamaan pertama:
[tex] \begin{align} 2\blue a+b &= 1 \\ 2(1)+b &= 1 \\ b &= -1 \end{align} [/tex]
Diperoleh [tex] a=1, b=-1 [/tex]. Substitusi ke persamaan [tex] (1) [/tex], sehingga:
[tex] \begin{align}f(x) &= (x^2+x-12)(x-1) \\ &= x^3+x^2-12x-x^2-x+12 \\ &= \boxed{ x^3-13x+12} \end{align} [/tex]