Bagaimana cara menyelesaikan nya jika bentuk pembilang seperti berikut
[tex]\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{1-x}-x}{x^3}[/tex]
[tex]\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{1-x}-x}{x^3}[/tex]
Hasil dari [tex]\tt \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{1-x} -x}{x^3}[/tex] adalah [tex]\tt \frac{1}{8}[/tex].
Pembahasan
Limit aljabar adalah teori matematika yang melibatkan penentuan perilaku suatu fungsi (sering dijelaskan dengan [tex]\tt x \to a[/tex]) menggunakan metode aljabar ketika variabelnya mendekati titik tertentu. Limit tak tentu berarti menjelaskan tentang limit suatu fungsi ketika nilai x mendekati nilai tertentu, tetapi tanpa memperkirakan nilai tertentu dalam titik tersebut.
Pada kasus limit tak tentu, kita menggunakan notasi [tex]\tt lim[/tex] menyatakan bahwa kita mendekati suatu nilai, namun tidak memberikan nilai yang tepat dalam titik tersebut.
Bentuk hasil limit tentu :
[tex]\tt (a, \frac{a}{b},\frac{a}{0}= \infty, \frac{0}{b}=0)[/tex]
Bentuk hasil limit tak tentu :
[tex]\tt (\frac{0}{0},\frac{\infty}{\infty},\infty - \infty, \infty^{\infty})[/tex]
Sifat Limit Fungsi Aljabar :
[tex]\tt 1. \lim_{x \to c}x=c\\ \\2. \lim_{x \to c} k.f(x)=k.\lim_{x \to c} f(x)\\\\3. \lim_{x \to c} k = k\\\\4. \lim_{x \to c} [f(x).g(x)]= \lim_{x \to c} f(x). \lim_{x \to c} g(x)\\\\5. \lim_{x \to c} [f(x) \pm g(x)]= \lim_{x \to c} f(x)\pm \lim_{x \to c} g(x)[/tex]
Penyelesaian Soal
Diketahui :
[tex]\tt \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{1-x} -x}{x^3}[/tex]
Ditanya :
Menyelesaikan hasil hitung limit...?
Jawaban :
Menggunakan pemfaktoran dengan pisahkan antara penyebut dan pembilang :
[tex]\tt \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{1-x} -x}{x^3}\\\\[/tex]
Pembilang :
[tex]\tt \lim_{x \to 0}\sqrt{x+1}-\sqrt{1-x} -x\\ \\ = \lim_{x \to 0}(\sqrt{x+1}-\sqrt{1-x})- \lim_{x \to 0} (x)\\ \\ = \lim_{x \to 0} (\sqrt{x+1})- \lim_{x \to 0} \sqrt{1-x})-0\\ \\=\sqrt{ \lim_{x \to 0} (x+1)}- \sqrt{ \lim_{x \to 0} (1-x)}-0\\ \\=\sqrt{0+1}-\sqrt{1-0}-0\\ \\ = \sqrt{1} -\sqrt{1}\\ \\= 0[/tex]
Penyebut :
[tex]\tt \lim_{x \to 0} x^3\\\\= 0^3\\\\= 0[/tex]
Bentuk [tex]\tt \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{1-x} -x}{x^3}\\\\[/tex] menggunakan bentuk pemfaktoran adalah [tex]\tt \frac{0}{0}[/tex]
Menggunakan metode L'Hopital :
[tex]\tt \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{1-x} -x}{x^3}\\\\= \lim_{x \to 0} (\frac{\frac{d}{dx}(\sqrt{x+1}-\sqrt{1-x} -x}{\frac{d}{dx}(x^3)})\\ \\ = \lim_{x \to 0} (\frac{\frac{d}{dx}(\sqrt{x+1}-\frac{d}{x}(\sqrt{1-x})-\frac{d}{dx}(x)}{3x^{3-1}}\\ \\ = \lim_{x \to 0} (\frac{\frac{1}{2\sqrt{x+1}}+\frac{1}{2\sqrt{1-x}}-1}{3x^2})\\ \\= \lim_{x \to 0} (\frac{\frac{\sqrt{1-x}\times 1}{\sqrt{1-x}\times 2\sqrt{x+1}}+\frac{\sqrt{x+1}\times 1}{\sqrt{x+1}\times 2\sqrt{1-x}}-\frac{1}{1}}{3x^2})[/tex]
[tex]\tt = \lim_{x \to 0} (\frac{\frac{\sqrt{1-x}}{2\sqrt{(x+1)(1-x)}}+\frac{\sqrt{x+1}}{2\sqrt{(x+1)(1-x)}}-\frac{2\sqrt{(x+1)(1-x)}}{2\sqrt{(x+1)(1-x)}}}{3x^2})\\\\= \lim_{x \to 0} (\frac{\frac{\sqrt{1-x}+\sqrt{x+1}-2\sqrt{(1+x)(1-x)}}{2\sqrt{(1+x)(1-x)}}}{3x^2})\\ \\ = \lim_{x \to 0} (\frac{\frac{d}{d}(\sqrt{1-x}+\sqrt{x+1}-2\sqrt{1-x^2}(1))}{\frac{d}{dx}(2\sqrt{1-x^2}(3x^2))})[/tex]
[tex]\tt = \lim_{ \to 0} (\frac{\frac{1}{2\sqrt{1-x}}(-1)+\frac{1}{2\sqrt{x+1}}-2(\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}(-2x)}{6\times 2x\sqrt{1-x^2}+6x^2(\frac{d}{dx}(\sqrt{1-x^2})})\\ \\= \lim_{x \to 0} (\frac{\frac{d}{dx} (-\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}+4x)\sqrt{1-x^2})}{\frac{d}{dx}( 2\sqrt{1-x^2(12x-18x^3))}})\\\\= \lim_{x \to 0} (\frac{-\frac{\sqrt{1-x}}{2\sqrt{(x+1)(1-x)}}-\frac{\sqrt{x+1}}{2\sqrt{(x+1)(1-x}} +\frac{8\sqrt{(x+1)(1-x)}}{2\sqrt{(x+1)(1-x)}}}{24-108x^2})[/tex]
[tex]\tt = \lim_{x \to 0} (\frac{-\sqrt{1-x}-\sqrt{x+1}+8\sqrt{1-x^2}(1)}{2\sqrt{1-x^2}(24-108x^2)})\\ \\ = \frac{ \lim_{x \to 0} (-\sqrt{1-x}-\sqrt{x+1})+ \lim_{x \to 0} (8\sqrt{1-x^2})}{ 2\times \lim_{x \to 0}(\sqrt{1-x^2}(24-108x^2))})\\ \\= \frac{-\sqrt{ \lim_{x \to 0} (1-x)}-\sqrt{ \lim_{x \to 0} (x+1)}+8\sqrt{ \lim_{x \to 0}(1-x^2)}}{2\sqrt{ \lim_{x \to 0} (1-x^2)}( \lim_{x\to 0} (24)- \lim_{x\to 0} (108x^2))}\\ \\= \frac{-\sqrt{1-0}-\sqrt{0+1}+8\sqrt{1-0^2}}{2\sqrt{1-0^2}(24-108(0^2))}[/tex]
[tex]\tt = \frac{-\sqrt{1}-\sqrt{1}+8\sqrt{1}}{2\sqrt{1}(24-0)} \\\\= \frac{-1 - 1+8}{2(24)}\\ \\= \frac{1}{8}[/tex]
Pelajari Lebih Lanjut
Detail Jawaban
Kelas : XI
Mapel : Matematika
Kategori : Limit Fungsi Aljabar
Kode : 11.2.8
Kata Kunci : limit fungsi, nilai, metode L' Hospital, pemfaktoran
Verified answer
PEMBAHASAN
Limit
Bentuk 0/0
Perkalian Akar Sekawan
lim x→0 f(x) × g(x) = lim x→0 f(x) × lim x→0 g(x)
(a + b)(a - b) = a² - b²
Jawaban pada lampiran
___
Cara lain
L'Hopital
f(x) = √(x + 1) - √(1 - x) - x
g(x) = x³
turunkan pembilang dan penyebut sebanyak 3 kali.
lim x→0 f(x)/g(x)
= f"'(0) / g"'(0)
= (3/8 + 3/8) / 6
= 1/8