Question

Ile jest [różnych] liczb spełniających ten warunek?:
[tex]
X^Y = Y^X
[/tex]

Answer 1

Jeśli pytasz o liczby naturalne (czyli całkowite dodatnie), to ten warunek spełniają jedynie dwie pary tj. (2,4) oraz (4,2)

2^(4) = 4^(2) = 16

W przypadku liczb całkowitych (czyli liczb zarówno dodatnich i ujemnych, ale nie ,,w ułamku") podobna sytuacja, bo tylko dwie pary czyli (-2, -4) oraz (-4, -2)

-2^(-4) = -4^(-2) = -0.0625

W przypadku ułamków istnieje więcej par liczb spełniających ten warunek.

Ale jeśli zależy ci na typowo matematycznym rozwiązaniu dla tego problemu to przedstawię ci go poniżej:

[tex]x^{y} = y^{x}, y\neq x[/tex] zaczynam od zapisania warunku

Możemy założyć, że y = ax, przy czym a[tex]\neq[/tex]1 oraz a>0

Następnie podstawiając do równania otrzymujemy:

[tex](ax)^{x} = x^{ax} \\[/tex]

[tex]((ax)^{x})^{\frac{1}{x}[/tex] [tex]= (x^{ax})^{\frac{1}{x}[/tex]

[tex]ax = x^{a}[/tex]

[tex]a = x^{a-1}[/tex]

[tex]x = a^{\frac{1}{a-1}[/tex]

[tex]y = ax = a\frac{1}{a-1}^{+1}[/tex]

I finalnie otrzymujemy dwa wzory pozwalające nam obliczyć x i y:

[tex]x = a^{\frac{1}{a-1} \\[/tex] nie wiem czy dobrze widać, więc: x = a^{1/a-1}
[tex]y = a^\frac{a}{a-1}[/tex] tu z kolei: y = a^{a/a-1}
Żeby nie było wątpliwości, podstawmy tu dowolne a różne od 1 i większe od 0 (warunek ten wygląda ,,fachowo" w ten sposób: [tex]a\neq1, a > 0[/tex])

Powiedzmy że naszym ,,a" będzie liczba 2. Wówczas:

x = 2^{1/2-1}, czyli 2^1 = 2, tak więc mamy x = 2

y = 2^{2/2-1}, czyli 2^2 = 4, co daje nam y = 4

A my już wiemy, że jedną z par spełniających warunek było x = 2, y = 4 (2,4). Możemy to teraz jeszcze podstawić dla już całkowitej jasności:

2^4 = 16

4^2 = 16

2^4 = 4^2

X^Y = Y^X