Question

Usando la definición [tex]f'(x)=log_{h\to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} h\neq0[/tex] , determine la derivada de la función [tex]f(x) = 1 - 4x^2[/tex].

Answer 1

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Se sabe que la derivada de una función está definida como:

[tex]{\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} }[/tex]

Tenemos [tex]f(x) = 1-4x^2[/tex] por tanto, evaluando en la definición:

[tex]{\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{1-4(x+h)^2-(1-4x^2)}{h} }[/tex]

[tex]{\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{\not{1}-4(x^2+2xh+h^2)-\not{1}+4x^2}{h} }[/tex]

[tex]{\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{-4(x^2+2xh+h^2)+4x^2}{h} }[/tex]

[tex]{\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{-4x^2-8xh-4h^2+4x^2}{h} }[/tex]

[tex]{\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{-4h^2-8xh}{h} }[/tex]

[tex]{\displaystyle f'(x) = -\lim_{h \to 0} \dfrac{4h^2}{h}- \lim_{h \to 0} \dfrac{8xh}{h}[/tex]

[tex]{\displaystyle f'(x) = -\lim_{h \to 0} 4h- \lim_{h \to 0} 8x[/tex]

[tex]{\displaystyle f'(x) =-4(0)- 8x }[/tex]

[tex]\boxed{\displaystyle f'(x) = - 8x }[/tex]