Jika anda bisa menyelesaikan soal trigonometri ini termasuk hebat
[tex]\displaystyle \frac{\sin 80^\circ}{\sin 20^\circ}-\frac{\sqrt{3}}{2\sin 80^\circ}[/tex]
[tex]\displaystyle \frac{\sin 80^\circ}{\sin 20^\circ}-\frac{\sqrt{3}}{2\sin 80^\circ}[/tex]
Jawaban:
Mari kita selesaikan soal trigonometri ini:
[tex]\displaystyle \frac{\sin 80^\circ}{\sin 20^\circ}-\frac{\sqrt{3}}{2\sin 80^\circ}[/tex]
Pertama, kita bisa menyederhanakan persamaan ini dengan memperhatikan hubungan trigonometri yang ada.
Dalam segitiga siku-siku, kita tahu bahwa [tex]\displaystyle \sin \theta = \frac{{\text{opposite}}}{\text{hypotenuse}}[/tex].
Dalam hal ini, mari kita anggap segitiga siku-siku dengan sudut [tex]\displaystyle 80^\circ[/tex]:
|
|
|
80° | 90°
|
|
Dalam segitiga ini, [tex]\displaystyle \sin 80^\circ = \frac{{\text{opposite}}}{\text{hypotenuse}}[/tex].
Dan kita juga tahu bahwa [tex]\displaystyle \sin \theta = \cos (90^\circ -\theta )[/tex] (rumus cosinus komplementer).
Dengan menggunakan rumus cosinus komplementer, kita dapat menyimpulkan bahwa [tex]\displaystyle \sin 80^\circ = \cos 10^\circ[/tex].
Jadi, kita dapat mengganti [tex]\displaystyle \sin 80^\circ[/tex] dalam persamaan awal dengan [tex]\displaystyle \cos 10^\circ[/tex]:
[tex]\displaystyle \frac{\cos 10^\circ}{\sin 20^\circ}-\frac{\sqrt{3}}{2\cos 10^\circ}[/tex]
Selanjutnya, kita perlu memperhatikan hubungan trigonometri lainnya.
Dalam segitiga siku-siku, kita juga tahu bahwa [tex]\displaystyle \sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta[/tex] (rumus sinus ganda).
Kita dapat menerapkan rumus sinus ganda pada [tex]\displaystyle \sin 20^\circ[/tex]:
[tex]\displaystyle \sin 20^\circ = 2\sin 10^\circ \cos 10^\circ[/tex].
Jadi, kita dapat mengganti [tex]\displaystyle \sin 20^\circ[/tex] dalam persamaan awal dengan [tex]\displaystyle 2\sin 10^\circ \cos 10^\circ[/tex]:
[tex]\displaystyle \frac{\cos 10^\circ}{2\sin 10^\circ \cos 10^\circ}-\frac{\sqrt{3}}{2\cos 10^\circ}[/tex].
Sekarang kita bisa menyederhanakan persamaan ini:
[tex]\displaystyle \frac{1}{2\sin 10^\circ}-\frac{\sqrt{3}}{2\cos 10^\circ}[/tex].
Untuk mempermudah perhitungan, kita bisa mengalikan setiap suku dengan [tex]\displaystyle 2\sin 10^\circ \cos 10^\circ[/tex]:
[tex]\displaystyle \frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}\sin 10^\circ}{\cos 10^\circ}[/tex].
Terakhir, kita perlu memperhatikan hubungan trigonometri lagi.
Dalam segitiga siku-siku, kita tahu bahwa [tex]\displaystyle \tan \theta = \frac{{\sin \theta}}{\cos \theta}[/tex].
Dengan menggunakan rumus ini, kita dapat mengganti [tex]\displaystyle \frac{\sin 10^\circ}{\cos 10^\circ}[/tex] dalam persamaan terakhir dengan [tex]\displaystyle \tan 10^\circ[/tex]:
[tex]\displaystyle \frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}\tan 10^\circ}{1}[/tex].
Sekarang kita memiliki persamaan yang telah disederhanakan menjadi:
[tex]\displaystyle \frac{1}{2}-\sqrt{3}\tan 10^\circ[/tex].
Jadi, hasil akhir dari ekspresi [tex]\displaystyle \frac{\sin 80^\circ}{\sin 20^\circ}-\frac{\sqrt{3}}{2\sin 80^\circ}[/tex] adalah [tex]\displaystyle \frac{1}{2}-\sqrt{3}\tan 10^\circ[/tex].
PEMBAHASAN
sin a = cos (90 - a)°
sin 2a = 2 sin a cos a
sin (a - b) = sin a cos b - cos a sin b
sin 80° = cos (90 - 80)° = cos 10°
__
[tex]\displaystyle \sf \frac{\sin \: 80\degree}{\sin \: 20\degree}-\frac{\sqrt{3}}{2 \: sin \: 80\degree} \\ \\ = \displaystyle \sf \frac{cos \: 10 \degree}{2 \: sin \: 10 \degree \: cos \: 10 \degree} \: - \: \frac{ \sqrt{3} }{2 \: cos \: 10 \degree} \\ \\ = \displaystyle \sf\frac{1}{2 \: sin \: 10 \degree} \: - \: \frac{ \sqrt{3} }{2 \: cos \: 10 \degree} \\ \\ = \displaystyle \sf\frac{cos \: 10 \degree \: - \: \sqrt{3} \: sin \: 10 \degree }{2 \: sin \: 10 \degree \: cos \: 10 \degree} \\ \\ = \displaystyle \sf\frac{cos \: 10 \degree \: - \: \sqrt{3} \: sin \: 10 \degree }{sin \: 20 \degree} \\ \\ = \displaystyle \sf\frac{cos \: 10 \degree \: - \: \sqrt{3} \: sin \: 10 \degree }{sin \: (30 \: - \: 10)\degree} \\ \\ = \displaystyle \sf\frac{cos \: 10 \degree \: - \: \sqrt{3} \: sin \: 10 \degree }{sin 30 \degree \: cos \: 10 \degree \: - \: cos \: 30 \degree \: sin \: 10 \degree} \\ \\ = \displaystyle \sf \frac{cos \: 10 \degree \: - \: \sqrt{3} \: sin \: 10 \degree}{ \frac{1}{2} \: cos \: 10 \degree \: - \: \frac{1}{2} \sqrt{3} \: sin \: 10 \degree} \\ \\ = \displaystyle \sf \frac{cos \: 10 \degree \: - \: \sqrt{3} \: sin \: 10 \degree}{ \frac{1}{2} \: (cos \: 10 \degree \: - \: \sqrt{3} \: sin \: 10 \degree)} \\ \\ = \boxed{2}[/tex]