Question

Wykaż, że wartość danego wyrażenia jest liczbą naturalną
[tex][(3-\sqrt{5} )^{\frac{1}{2} } + (3+\sqrt{5}) ^{\frac{1}{2} } ]^{2}[/tex].

Answer 1

Verified answer

Odpowiedź:

(3 - √5)^1/2 = √(3 - √5),

(3 + √5)^1/2 = √(3 + √5)

√(3 - √5) + √(3 + √5)

(√(3 - √5) + √(3 + √5))^2

(√(3 - √5) + √(3 + √5))^2 = (3 - √5) + 2√((3 - √5)(3 + √5)) + (3 + √5)

(3 - √5)(3 + √5) = 3^2 - (√5)^2 = 9 - 5 = 4

(3 - √5) + 2√((3 - √5)(3 + √5)) + (3 + √5) = 3 - √5 + 2√4 + 3 + √5

3 - √5 + 2√4 + 3 + √5 = 6 + 2√4

6 + 2√4 = 6 + 4 = 10

Wartość danego wyrażenia wynosi 10, co oznacza, że jest liczbą naturalną.

Answer 2

Odpowiedź:

Aby wykazać, że wartość danego wyrażenia jest liczbą naturalną, musimy pokazać, że pierwiastek kwadratowy tego wyrażenia jest liczbą całkowitą.

Rozpocznijmy od obliczenia pierwiastka kwadratowego z danego wyrażenia:

[(3 - √5)^(1/2) + (3 + √5)^(1/2)]^2

Teraz zauważmy, że wartości pod pierwiastkami są skomplementowane, czyli suma i różnica mają te same składniki, ale z odwrotnymi znakami:

3 - √5 = (√5)^2 - (√5)

3 + √5 = (√5)^2 + (√5)

Możemy zastosować wzór (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, aby rozwinięcie naszego wyrażenia:

[(√5)^2 - (√5)^(1/2) + (√5)^2 + (√5)^(1/2)]^2

[(√5)^2 + 2√5 * (√5)^(1/2) + (√5)^(1/2)^2]^2

[(√5)^2 + 2√5 * (√5)^(1/2) + (√5)]^2

[(5 + 2√5 * √5 + √5)]^2

[(5 + 2√5 + √5)]^2

[(5 + 3√5)]^2

Teraz zauważamy, że mamy liczbę całkowitą w nawiasie kwadratowym. Więc pierwiastek kwadratowy z tego wyrażenia jest liczbą całkowitą, co oznacza, że wartość danego wyrażenia jest liczbą naturalną.

Podsumowując, wartość wyrażenia [(3 - √5)^(1/2) + (3 + √5)^(1/2)]^2 jest liczbą naturalną.

Szczegółowe wyjaśnienie: