Question

W trójkącie ABC /BC/= [tex]2\sqrt{6}[/tex], /∡BAC/ = α i cosα=[tex]-\frac{\sqrt{3} }{3}[/tex], zatem promień okręgu opisanego na tym trójkącie ma długość:

a). 6

b). 4

c). 3

d). [tex]\frac{2\sqrt{3} }{3}[/tex]

Answer 1

c). 3

Twierdzenie sinusów

mówi, że iloraz boku trójkąta przez sinus kąta leżącego naprzeciw tego boku jest stały i równy długości średnicy okręgu opisanego na tym trójkącie.

Czyli tutaj:

              [tex]\Large\text{$\bold{\frac{|BC|}{\sin|\angle BAC|}=2R}$}[/tex]

Z jedynki trygonometrycznej:

       [tex]\large\text{$sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$}\\\\\sin^2\alpha+\big(-\frac{\sqrt3}3\big)^2=1\\\\\sin^2\alpha+\frac39=1\\\\\sin^2\alpha=\frac69\\\\\sin\alpha=\frac{\sqrt6}3\qquad\vee\qquad\sin\alpha=-\frac{\sqrt6}3[/tex]

Kąt w trójkącie musi być mniejszy niż 180°, czyli sinus musi być dodatni.

Zatem:

          [tex]\large\text{$\frac{|BC|}{\sin\alpha}=2R$}\\\\\large\text{$\dfrac{2\sqrt6}{\frac{\sqrt6}3}=2R$}\\\\\large\text{$2\sqrt6\cdot\frac3{\sqrt6}=2R$}\\\\\large\text{$6=2R\qquad/:2$}\\\\\large\text{$\bold{R=3}$}[/tex]