Question

Misalkan [tex]c[/tex] adalah sembarang bilangan real. Tunjukan, jika

[tex]\displaystyle x_{n+1} = \frac{3-x_n}{2}[/tex], dengan [tex]x_1 = c[/tex]

maka [tex]\lim_{n \to \infty} x_n = 1[/tex].

Answer 1

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Untuk menunjukkan batas ini, kita akan mendekati soal ini dengan induksi matematis.

Misalkan ₀ = , dan diberikan persamaan rekursif:

_{n+1} = 2/3 − _n

Kita ingin menunjukkan bahwa:

lim (n→∞) _n = 1

Basis induksi: n = 0

₀ = (bilangan real sembarang)

Langkah induksi: Asumsikan bahwa rumus tersebut benar untuk suatu '', yaitu:

_ = 2/3 − _(-1)

Kita ingin menunjukkan bahwa rumus ini juga benar untuk '+1':

_(+1) = 2/3 − _

Kita tahu dari asumsi induksi bahwa:

_ = 2/3 − _(-1)

Maka,

_(+1) = 2/3 − (2/3 − _(-1))

= 2/3 + _(-1) - 2/3

= _(-1)

Oleh karena itu, persamaan rekursif diturunkan untuk semua '', sehingga:

_n = 2/3 − _(-1)

Sekarang, kita akan mencari batas. Ketika n mendekati ∞, _(-1) akan mendekati _n. Dapat disebut:

lim (n→∞) _n = lim (n→∞) _(-1)

Sehingga, dari persamaan rekursif:

lim (n→∞) _n = 2/3 − lim (n→∞) _(-1)

karena _n mendekati _(-1) ketika n mendekati ∞, kita dapat menggantikan _(-1) dengan _n:

lim (n→∞) _n = 2/3 − lim (n→∞) _n

Tambahkan lim (n→∞) _n ke kedua sisi:

2 × lim (n→∞) _n = 2/3

Bagi kedua sisi dengan 2:

lim (n→∞) _n = 1/3

Sehingga, kita menemukan bahwa:

lim (n→∞) _n = 1/3

Dan bukan 1 seperti yang dinyatakan dalam soal. Oleh karena itu, pernyataan awal tidak benar.