Question

Oblicz pierwszy wyraz i iloraz ciągu geometrycznego mając dane:
a) a2=6 i a5=48
b) a3=8 i a7=[tex]\frac{1}{2}[/tex]

Answer 1

Aby obliczyć pierwszy wyraz (oznaczmy go jako "a") i iloraz (oznaczmy go jako "r"), możemy skorzystać z ogólnego wzoru dla ciągu geometrycznego: aₙ = a * r^(n-1), gdzie "aₙ" oznacza n-ty wyraz ciągu.

1. Z podanych informacji, mamy a2 = 6. Podstawiając to do wzoru, otrzymujemy: 6 = a * r^(2-1) = a * r.

2. Podobnie, mamy a5 = 48. Podstawiając to do wzoru, otrzymujemy: 48 = a * r^(5-1) = a * r^4.

Teraz, mamy układ równań, który możemy rozwiązać:
6 = a * r
48 = a * r^4

Możemy użyć drugiego równania, aby wyrazić a w zależności od r:
a = 48 / r^4

Podstawiając to do pierwszego równania, otrzymujemy:
6 = (48 / r^4) * r

Rozwiązując to równanie, otrzymujemy:
6 = 48 / r^3

Mnożąc obie strony przez r^3, otrzymujemy:
6 * r^3 = 48

Dzieląc obie strony przez 6, otrzymujemy:
r^3 = 8

Aby obliczyć wartość r, wystarczy wziąć pierwiastek trzeciego stopnia z obu stron równania:
r = ∛(8) = 2

Teraz, podstawiając wartość r = 2 do pierwszego równania:
6 = a * 2

Dzieląc obie strony przez 2, otrzymujemy:
a = 3

Więc pierwszy wyraz ciągu geometrycznego wynosi 3, a iloraz wynosi 2.

Przejdźmy teraz do podpunktu b) i obliczmy pierwszy wyraz i iloraz ciągu geometrycznego na podstawie informacji, że a3 wynosi 8, a a7 wynosi 1/2.

Podobnie jak wcześniej, możemy skorzystać z ogólnego wzoru dla ciągu geometrycznego: aₙ = a * r^(n-1).

1. Z podanych informacji, mamy a3 = 8. Podstawiając to do wzoru, otrzymujemy: 8 = a * r^(3-1) = a * r^2.

2. Mamy również a7 = 1/2. Podstawiając to do wzoru, otrzymujemy: 1/2 = a * r^(7-1) = a * r^6.

Podobnie jak wcześniej, mamy układ równań, który możemy rozwiązać:
8 = a * r^2
1/2 = a * r^6

Możemy użyć drugiego równania, aby wyrazić a w zależności od r:
a = (1/2) / r^6

Podstawiając to do pierwszego równania, otrzymujemy:
8 = ((1/2) / r^6) * r^2

Rozwiązując to równanie, otrzymujemy:
8 = (1/2) / r^4

Mnożąc obie strony przez r^4, otrzymujemy:
8 * r^4 = 1/2

Dzieląc obie strony przez 8, otrzymujemy:
r^4 = 1/16

Aby obliczyć wartość r, wystarczy wziąć pierwiastek czwartego stopnia z obu stron równania:
r = ∜(1/16) = 1/2

Teraz, podstawiając wartość r = 1/2 do pierwszego równania:
8 = a * (1/2)^2

Upraszczając wyrażenie, otrzymujemy:
8 = a * 1/4

Mnożąc obie strony przez 4, otrzymujemy:
32 = a

Więc pierwszy wyraz ciągu geometrycznego wynosi 32, a iloraz wynosi 1/2.

Mam nadzieję, że to pomogło! Jeśli masz jeszcze jakieś pytania, śmiało pytaj.