Question

[tex]D[/tex] jest kołem w [tex]R^2[/tex] o promieniu 1 o środku w (0,0)
[tex]\int _D\int\limits {\sqrt{1-x^2-y^2}dxdy }[/tex]

Answer 1

Odpowiedź:

[tex]$\iint_{D} \sqrt{1-x^2-y^2} \ \text{d}x \text{d}y=\frac{2\pi}{3}[/tex]

Szczegółowe wyjaśnienie:

Całka:

[tex]$\iint_{D} \sqrt{1-x^2-y^2} \ \text{d}x \text{d}y=\iint_{D}\sqrt{1-(x^2+y^2)} \ \text{d}x \text{d}y[/tex]

Obszar [tex]D[/tex] :

[tex]D=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2: x^2+y^2 \leq 1\}[/tex]

Współrzędne biegunowe:

[tex]\left\{\begin{array}{ccc}x=r\cos \varphi\\y=r\sin \varphi\\J(r, \varphi)=r\end{array}\right[/tex]

Ponadto:

[tex]$\left \{ {{0 \leq r \leq 1} \atop {0 \leq \varphi \leq 2\pi}} \right.[/tex]

Stąd otrzymuje się:

[tex]$\iint_{D}\sqrt{1-(x^2+y^2)} \ \text{d}x \text{d}y=\int\limits^{2\pi}_{0} \int \limits^{1}_{0} r\sqrt{1-r^2} \ \text{d}r \text{d}\varphi = \int \limits^{2\pi}_{0} \Bigg(\int \limits^{1}_{0} r \sqrt{1-r^2} \ \text{d}r\Bigg) \text{d}\varphi[/tex]

Najpierw rozwiążmy całkę nieoznaczoną postaci:

[tex]$\int r\sqrt{1-r^2} \ \text{d}r=\left|\begin{array}{ccc}u=1-r^2\\ \text{d}u=-2r \ \text{d}r\\-\frac{1}{2}\text{d}u=r \ \text{d}r\end{array}\right|=-\frac12 \int \sqrt{u} \ \text{d}u=-\frac13 \sqrt{u^3}+C=[/tex]

[tex]$=-\frac{1}{3}\sqrt{(1-r^2)^3}+C[/tex]

Zatem:

[tex]$\int \limits^{2\pi}_{0} \Bigg(\int \limits^{1}_{0} r \sqrt{1-r^2} \ \text{d}r\Bigg) \text{d}\varphi=\int\limits^{2\pi}_{0}\Bigg(-\frac{1}{3}\sqrt{(1-r^2)^3} \Bigg|^{1}_{0}\Bigg) \text{d}\varphi=\frac13\int \limits^{2\pi}_{0} \text{d}\varphi=[/tex]

[tex]$=\frac{1}{3}\varphi \Bigg|^{2\pi}_{0}=\frac{2\pi}{3}[/tex]