QUIZ (1400)
Materi: Trigonometri
Tentukan himpunan penyelesaian dari [tex] \dfrac{ 2- \sin x }{ \cos x } \geq \dfrac{ \cos x }{ \sin x } [/tex], untuk [tex] 0^{\circ} \leq x \leq \dfrac{ \pi }{ 2 } [/tex] !
Materi: Trigonometri
Tentukan himpunan penyelesaian dari [tex] \dfrac{ 2- \sin x }{ \cos x } \geq \dfrac{ \cos x }{ \sin x } [/tex], untuk [tex] 0^{\circ} \leq x \leq \dfrac{ \pi }{ 2 } [/tex] !
Verified answer
Himpunan penyelesaian dari [tex]\displaystyle{\frac{2-sinx}{cosx}\geq \frac{cosx}{sinx}~untuk~0\leq x\leq \frac{\pi}{2}}[/tex] adalah [tex]\displaystyle{\boldsymbol{\left \{ x\Bigr|\frac{\pi}{6}\leq x < \frac{\pi}{2},~x\epsilon R \right \}} }[/tex].
PEMBAHASAN
Pertidaksamaan trigonometri merupakan suatu pertidaksamaan yang memuat fungsi trigonometri. Untuk mencari himpunan penyelesaiannya, kita perlu mencari pembuat nol fungsi terlebih dahulu menggunakan rumus:
[tex]sinx=sinA^0,~maka:[/tex]
[tex]x=A^0+K\times360^0~~atau~~x=(180-A)^0+K\times360^0[/tex]
[tex]cosx=cosA^0,~maka:[/tex]
[tex]x=A^0+K\times360^0~~atau~~x=-A^0+K\times360^0[/tex]
[tex]tanx=tanA^0,~maka:[/tex]
[tex]x=A^0+K\times180^0[/tex]
Lalu himpunan penyelesaiannya dapat ditentukan dengan menggunakan garis bilangan.
.
DIKETAHUI
[tex]\displaystyle{\frac{2-sinx}{cosx}\geq \frac{cosx}{sinx},~0\leq x\leq \frac{\pi}{2}}[/tex]
.
DITANYA
Tentukan himpunan penyelesaiannya.
.
PENYELESAIAN
[tex]\displaystyle{\frac{2-sinx}{cosx}\geq \frac{cosx}{sinx} }[/tex]
[tex]\displaystyle{\frac{2-sinx}{cosx}-\frac{cosx}{sinx}\geq 0 }[/tex]
[tex]\displaystyle{\frac{(2-sinx)sinx-cos^2x}{sinxcosx}\geq 0 }[/tex]
[tex]\displaystyle{\frac{2sinx-sin^2x-cos^2x}{sinxcosx}\geq 0 }[/tex]
[tex]\displaystyle{\frac{2sinx-(sin^2x+cos^2x)}{sinxcosx}\geq 0}[/tex]
[tex]\displaystyle{\frac{2sinx-1}{sinxcosx}\geq 0 }[/tex]
.
Cek pembuat nol fungsi.
Bagian pembilang :
[tex]2sinx-1=0[/tex]
[tex]2sinx=1[/tex]
[tex]\displaystyle{sinx=\frac{1}{2} }[/tex]
[tex]\displaystyle{x=\frac{\pi}{6} }[/tex]
.
Bagian penyebut :
[tex]sinxcosx=0[/tex]
[tex]sinx=0~atau~cosx=0[/tex]
[tex]\displaystyle{x=0~atau~x=\frac{\pi}{2} }[/tex]
.
Cek menggunakan garis bilangan.
> Interval [tex]\displaystyle{0\leq x\leq \frac{\pi}{6},~pilih~x=\frac{\pi}{12}:}[/tex]
[tex]\displaystyle{\frac{2sinx-1}{sinxcosx} }[/tex]
[tex]\displaystyle{=\frac{2sin\left ( \frac{\pi}{12} \right )-1}{sin\left ( \frac{\pi}{12} \right )cos\left ( \frac{\pi}{12} \right )} }[/tex]
[tex]\displaystyle{=\frac{2sin\left ( 15^{\circ} \right )-1}{sin\left ( 15^{\circ} \right )cos\left ( 15^{\circ} \right )} }[/tex]
[tex]\displaystyle{=\frac{2sin\left ( 15^{\circ} \right )-1}{\frac{1}{2}sin\left ( 2\times15 \right )^{\circ}} }[/tex]
[tex]\displaystyle{=\frac{2sin\left ( 15^{\circ} \right )-1}{\frac{1}{2}sin\left ( 30^{\circ} \right )} }[/tex]
[tex]-----------[/tex]
[tex]sin15^{\circ}=sin(45-30)^{\circ}[/tex]
[tex]sin15^{\circ}=sin45^{\circ}cos30^{\circ}-cos45^{\circ}sin30^{\circ}[/tex]
[tex]\displaystyle{sin15^{\circ}=\left ( \frac{\sqrt{2}}{2} \right )\left ( \frac{\sqrt{3}}{2} \right )-\left ( \frac{\sqrt{2}}{2} \right )\left ( \frac{1}{2} \right ) }[/tex]
[tex]\displaystyle{sin15^{\circ}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} }[/tex]
[tex]-----------[/tex]
[tex]\displaystyle{=\frac{2\left ( \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \right )-1}{\frac{1}{4}} }[/tex]
[tex]\displaystyle{=\frac{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}-2}{2}}{\frac{1}{4}} }[/tex]
[tex]\displaystyle{=2(\sqrt{6}-\sqrt{4}-2)~\to~negatif }[/tex]
.
> Interval [tex]\displaystyle{\frac{\pi}{6}\leq x\leq \frac{\pi}{2},~pilih~x=\frac{\pi}{3}:}[/tex]
[tex]\displaystyle{\frac{2sinx-1}{sinxcosx} }[/tex]
[tex]\displaystyle{=\frac{2sin\left ( \frac{\pi}{3} \right )-1}{sin\left ( \frac{\pi}{3} \right )cos\left ( \frac{\pi}{3} \right )} }[/tex]
[tex]\displaystyle{=\frac{2sin\left ( 60^{\circ} \right )-1}{sin\left ( 60^{\circ} \right )cos\left ( 60^{\circ} \right )} }[/tex]
[tex]\displaystyle{=\frac{2\left ( \frac{\sqrt{3}}{2} \right )-1}{\left ( \frac{\sqrt{3}}{2} \right )\left ( \frac{1}{2} \right )} }[/tex]
[tex]\displaystyle{=\frac{\sqrt{3}-1}{\frac{\sqrt{3}}{4}}~\to~positif }[/tex]
.
Diperoleh garis bilangan sebagai berikut :
[tex]o---o+++o[/tex]
[tex]\displaystyle{0~~~~~~~~~\frac{\pi}{6}~~~~~~~~\frac{\pi}{2} }[/tex]
.
Karena tanda pertidaksamaan ≥ 0, pilih daerah bertanda +++, yaitu [tex]\displaystyle{\frac{\pi}{6}\leq x < \frac{\pi}{2} }[/tex].
.
KESIMPULAN
Himpunan penyelesaian dari [tex]\displaystyle{\frac{2-sinx}{cosx}\geq \frac{cosx}{sinx}~untuk~0\leq x\leq \frac{\pi}{2}}[/tex] adalah [tex]\displaystyle{\boldsymbol{\left \{ x\Bigr|\frac{\pi}{6}\leq x < \frac{\pi}{2},~x\epsilon R \right \}} }[/tex].
.
PELAJARI LEBIH LANJUT
.
DETAIL JAWABAN
Kelas : 10
Mapel: Matematika
Bab : Trigonometri
Kode Kategorisasi: 10.2.7