Question

rozwiąż nierówność pls
[tex] \sqrt{18} \leqslant | \sqrt{2} +x + 6| < \sqrt{32} [/tex]
​

Answer 1

Verified answer

Odpowiedź:

[tex]x\in\left(-5\sqrt2-6,-4\sqrt2-6\right]\cup\left[2\sqrt2-6,3\sqrt2-6\right)[/tex]

Szczegółowe wyjaśnienie:

[tex]\sqrt{18}\leq |\sqrt2+x+6| < \sqrt{32}[/tex]

Rozbijamy nierówność na dwie nierówności.

1)

[tex]\sqrt{18}\leq |\sqrt2+x+6| \\|\sqrt2+x+6| \geq \sqrt{18}\\|\sqrt2+x+6| \geq \sqrt{9*2}\\|\sqrt2+x+6| \geq 3\sqrt{2}\\\sqrt2+x+6\geq 3\sqrt2\ \vee\ \sqrt2+x+6\leq -3\sqrt2\\x\geq 3\sqrt2-\sqrt2-6\ \vee\ x\leq -3\sqrt2-\sqrt2-6\\x\geq 2\sqrt2-6\ \vee\ x\leq -4\sqrt2-6\\x\in\left(-\infty,-4\sqrt2-6\right]\cup\left[2\sqrt2-6,+\infty\right)[/tex]

2)

[tex]|\sqrt2+x+6| < \sqrt{32}\\ |\sqrt2+x+6| < \sqrt{16*2}\\ |\sqrt2+x+6| < 4\sqrt{2}\\\sqrt2+x+6 < 4\sqrt2\ \land\ \sqrt2+x+6 > -4\sqrt2\\x < 4\sqrt2-\sqrt2-6\ \land\ x > -4\sqrt2-\sqrt2-6\\x < 3\sqrt2-6\ \land\ x > -5\sqrt2-6\\x\in\left(-5\sqrt2-6,3\sqrt2-6\right)[/tex]

Dla nierówności podwójnej bierzemy część wspólną wyników z obu przypadków. Zatem

[tex]x\in\left(-5\sqrt2-6,-4\sqrt2-6\right]\cup\left[2\sqrt2-6,3\sqrt2-6\right)[/tex]