Question

QUIZ (1364)
Materi: Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Carilah basis untuk ruang eigen dari matriks [tex] \rm A= \begin{bmatrix} -1&3\\2&0\end{bmatrix} [/tex] !​

Answer 1

Verified answer

Basis untuk ruang eigen dari matriks [tex]A=\begin{bmatrix}-1 &3 \\ 2 &0 \end{bmatrix}[/tex] adalah [tex]\begin{bmatrix}-3\\ 2\end{bmatrix}~dan~\begin{bmatrix}1\\ 1\end{bmatrix}[/tex].

PEMBAHASAN

Nilai eigen (dilambangkan dengan λ) merupakan nilai karakteristik dari suatu matriks n x n. Sedangkan vektor eigen merupakan vektor kolom bukan nol yang apabila dikalikan dengan suatu matriks n x n akan menghasilkan vektor lain yang memiliki nilai kelipatan dari vektor eigen itu sendiri.

Untuk mencari nilai eigen, maka matriks harus memenuhi persamaan:

[tex]det(\lambda I-A)=0[/tex]

Dengan :

A = matriks yang ingin dicari nilai eigennya

I = matriks identitas

Sedangkan untuk mencari vektor eigennya, maka matriks harus memenuhi persamaan :

[tex](\lambda I-A)x=0[/tex]

.

DIKETAHUI

[tex]Matriks~A=\begin{bmatrix}-1 &3 \\ 2 &0 \end{bmatrix}[/tex]

.

DITANYA

Tentukan basis untuk ruang eigen dari matriks A.

.

PENYELESAIAN

> Mencari nilai eigen.

[tex]\lambda I-A=\lambda \begin{bmatrix}1 &0 \\ 0 &1 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix}-1 &3 \\ 2 &0 \end{bmatrix}[/tex]

[tex]\lambda I-A=\begin{bmatrix}\lambda+1 &-3 \\ -2 &\lambda \end{bmatrix}[/tex]

.

[tex]det(\lambda I-A)=0[/tex]

[tex]\lambda(\lambda+1)-(-2)(-3)=0[/tex]

[tex]\lambda^2+\lambda-6=0[/tex]

[tex](\lambda+3)(\lambda-2)=0[/tex]

[tex]\lambda=-3~atau~\lambda=2[/tex]

Diperoleh nilai eigennya adalah λ = -3 atau λ = 2.

.

> Mencari vektor eigen matriks A.

[tex](\lambda I-A)x=0[/tex]

[tex]\begin{bmatrix}\lambda+1 &-3 \\ -2 &\lambda \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\ x_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\ 0\end{bmatrix}[/tex]

.

Untuk λ = -3 :

[tex]\begin{bmatrix}-3+1 &-3 \\ -2 &-3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\ x_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\ 0\end{bmatrix}[/tex]

[tex]\begin{bmatrix}-2 &-3 \\ -2 &-3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\ x_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\ 0\end{bmatrix}[/tex]

Diperoleh persamaan :

[tex]-2x_1-3x_2=0[/tex]

[tex]-2x_1=3x_2[/tex]

[tex]\displaystyle{x_1=-\frac{3}{2}x_2 }[/tex]

Misal [tex]\displaystyle{x_2=2t~\to~x_1=-3t}[/tex]

Sehingga solusinya :

[tex]\begin{bmatrix}x_1\\ x_2\end{bmatrix}=\underbrace{\begin{bmatrix}-3\\ 2\end{bmatrix}}_{basis}t[/tex]

.

Untuk λ = 2 :

[tex]\begin{bmatrix}2+1 &-3 \\ -2 &2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\ x_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\ 0\end{bmatrix}[/tex]

[tex]\begin{bmatrix}3 &-3 \\ -2 &2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\ x_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\ 0\end{bmatrix}[/tex]

Diperoleh persamaan :

[tex]3x_1-3x_2=0[/tex]

[tex]3x_1=3x_2[/tex]

[tex]x_1=x_2[/tex]

Misal [tex]\displaystyle{x_2=t~\to~x_1=t}[/tex]

Sehingga solusinya :

[tex]\begin{bmatrix}x_1\\ x_2\end{bmatrix}=\underbrace{\begin{bmatrix}1\\ 1\end{bmatrix}}_{basis}t[/tex]

.

KESIMPULAN

Basis untuk ruang eigen dari matriks [tex]A=\begin{bmatrix}-1 &3 \\ 2 &0 \end{bmatrix}[/tex] adalah [tex]\begin{bmatrix}-3\\ 2\end{bmatrix}~dan~\begin{bmatrix}1\\ 1\end{bmatrix}[/tex].

.

PELAJARI LEBIH LANJUT

1. Mencari nilai dan vektor eigen : https://brainly.co.id/tugas/29297758
2. Mencari nilai dan vektor eigen : https://brainly.co.id/tugas/30149779
3. SPL dengan metode OBE : https://brainly.co.id/tugas/28244188
4. Solusi trivial dan non trivial : https://brainly.co.id/tugas/28232435

.

DETAIL JAWABAN

Kelas : x

Mapel: Matematika

Bab : Aljabar Linear

Kode Kategorisasi: x.x.x