QUIZ (1360)
Materi: Fungsi
Fungsi f mempunyai invers dan grafiknya berupa garis lurus. Jika [tex] f(2x)+f^{-1}(x)=3x-1 [/tex], maka berapakah nilai dari [tex] f^{-1}(3) [/tex] ?
Materi: Fungsi
Fungsi f mempunyai invers dan grafiknya berupa garis lurus. Jika [tex] f(2x)+f^{-1}(x)=3x-1 [/tex], maka berapakah nilai dari [tex] f^{-1}(3) [/tex] ?
Verified answer
Nilai dari [tex]f^{-1}(3)[/tex] adalah 4.
PEMBAHASAN
Fungsi merupakan pemetaan setiap anggota sebuah himpunan (domain) kepada anggota himpunan yang lain (kodomain). Fungsi biasanya dituliskan sebagai berikut :
[tex]f:~P\to Q[/tex]
Yang artinya adalah fungsi f memetakan anggota himpunan P ke himpunan Q.
Suatu fungsi juga biasa ditulis sebagai y = f(x). Dimana untuk x = a, nilai dari y yang memenuhi adalah f(a). Bisa ditulis juga sebagai (x,y) = (a, f(a)).
Setiap fungsi memiliki fungsi kebalikan atau fungsi invers. Fungsi invers ditulis sebagai berikut :
[tex]f(x)=y~\to~x=f^{-1}(y)[/tex]
Contoh-contoh fungsi invers :
[tex]\displaystyle{f(x)=x~\to~f^{-1}(x)=\frac{1}{x}}[/tex]
[tex]\displaystyle{f(x)=x+a~\to~f^{-1}(x)=x-a}[/tex]
[tex]\displaystyle{f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}~\to~f^{-1}(x)=\frac{-dx+b}{cx-a}}[/tex]
.
DIKETAHUI
f(x) = fungsi berupa garis lurus
[tex]f(2x)+f^{-1}(x)=3x-1[/tex]
.
DITANYA
Tentukan nilai dari [tex]f^{-1}(3)[/tex]
.
PENYELESAIAN
Karena f(x) berupa garis lurus maka f(x) adalah fungsi linear. Misal :
[tex]f(x)=ax+b[/tex]
.
Untuk fungsi f(2x) :
[tex]f(2x)=a(2x)+b[/tex]
[tex]f(2x)=2ax+b[/tex]
.
Untuk fungsi [tex]f^{-1}(x)[/tex] :
Misal :
[tex]y=ax+b[/tex]
[tex]ax=y-b[/tex]
[tex]\displaystyle{x=\frac{y-b}{a} }[/tex]
Substitusi y = x :
[tex]\displaystyle{y=\frac{x-b}{a} }[/tex]
[tex]\displaystyle{f^{-1}(x)=y=\frac{x-b}{a} }[/tex]
.
Substitusi ke persamaan awal :
[tex]f(2x)+f^{-1}(x)=3x-1[/tex]
[tex]\displaystyle{2ax+b+\frac{x-b}{a}=3x-1 }[/tex]
[tex]\displaystyle{2ax+\frac{x}{a}+b-\frac{b}{a}=3x-1 }[/tex]
[tex]\displaystyle{\left ( 2a+\frac{1}{a} \right )x+\left ( b-\frac{b}{a} \right )=3x-1 }[/tex]
.
Dengan menyamakan koefisien di kedua ruas :
[tex]\displaystyle{2a+\frac{1}{a}=3 }[/tex]
[tex]\displaystyle{\frac{2a^2+1}{a}=3~~~...kali~silang }[/tex]
[tex]\displaystyle{2a^2+1=3a }[/tex]
[tex]\displaystyle{2a^2-3a+1=0 }[/tex]
[tex]\displaystyle{(2a-1)(a-1)=0 }[/tex]
[tex]\displaystyle{a=\frac{1}{2}~atau~a=1 }[/tex]
.
[tex]\displaystyle{b-\frac{b}{a}=-1 }[/tex]
Untuk [tex]\displaystyle{a=\frac{1}{2}}[/tex] :
[tex]\displaystyle{b-\frac{b}{\frac{1}{2}}=-1 }[/tex]
[tex]\displaystyle{b-2b=-1 }[/tex]
[tex]\displaystyle{-b=-1 }[/tex]
[tex]\displaystyle{b=1 }[/tex]
.
Untuk a = 1 :
[tex]\displaystyle{b-\frac{b}{1}=-1 }[/tex]
[tex]\displaystyle{b-b=-1 }[/tex]
[tex]\displaystyle{0\neq -1~~(tidak~memenuhi) }[/tex]
.
Diperoleh [tex]\displaystyle{a=\frac{1}{2} }[/tex] dan b = 1. Maka :
[tex]\displaystyle{f^{-1}(x)=\frac{x-b}{a} }[/tex]
[tex]\displaystyle{f^{-1}(x)=\frac{x-1}{\frac{1}{2}} }[/tex]
[tex]\displaystyle{f^{-1}(x)=2(x-1) }[/tex]
[tex]\displaystyle{f^{-1}(3)=2(3-1) }[/tex]
[tex]\displaystyle{f^{-1}(3)=4 }[/tex]
.
KESIMPULAN
Nilai dari [tex]f^{-1}(3)[/tex] adalah 4.
.
PELAJARI LEBIH LANJUT
.
DETAIL JAWABAN
Kelas : 10
Mapel: Matematika
Bab : Fungsi
Kode Kategorisasi: 10.2.3