Question

Rozwiąż nierówność: [tex]x^{3} -\frac{1}{2} x^{4} +\frac{1}{4} x^{5} -\frac{1}{8} x^{6} +...\leq \lim_{n \to \infty} \frac{2n^{3}+6n+5 }{(1-n)(2-3n)n}[/tex]

Answer 1

Odpowiedź:

[tex]a_n =[/tex][tex]\frac{2 + \frac{6}{n^2} + \frac{5}{n^3} }{( \frac{1}{n}- 1)*(\frac{2}{n}- 3) }[/tex]

[tex]\lim_{n \to \infty} a_n = \frac{2 + 0 + 0}{- 1*(-3)} = \frac{2}{3}[/tex]

oraz

[tex]x^3 - \frac{1}{2}[/tex][tex]x^4 + \frac{1}{4} x^5 - \frac{1}{8} x^6 + ...[/tex]  ≤   [tex]\frac{2}{3}[/tex]

więc

[tex]a_1 = x^3[/tex]       q = [tex]- \frac{1}{2} x[/tex]

Dla   I  q I   = I  -0,5 x I <  1   lewa strona jest sumą nieskończonego

ciągu geometrycznego.

L = [tex]\frac{a_1}{1 - q} = \frac{x^3}{1 + 0,5 x}[/tex]

Mamy     [tex]\frac{x^3}{1 + 0,5 x} \leq \frac{2}{3}[/tex]  

[tex]\frac{x^3}{1 + 0,5 x} - \frac{2}{3} \leq 0[/tex]

[tex]\frac{3x^3- x- 2}{1,5 x + 3} \leq 0[/tex]

( 3 x² + 3 x + 2)*( x - 1)*( 1,5 x + 3) ≤ 0  /  :  1,5

( 3 x² + 3 x + 2)*(x - 1)*( x + 2) ≤ 0    Ponieważ  3 x² + 3 x + 2 > 0

więc   mamy

( x + 2)*(x - 1)  ≤ 0

1°     x ∈ < - 2 ; 1 >

oraz

2°    I  q I  = I  - 0,5 x I  < 1   ⇔  [ -0,5 x > - 1   i   - 0,5 x < 1 ] ⇔

⇔ [ x < 2   i     x  > - 2 ]   ⇔  x ∈ ( - 2 ; 2 )

Odp. x ∈ ( - 2 ; 1 >

====================

Szczegółowe wyjaśnienie: