Question

Obliczyć całki podwójne po zadanych prostokątach:

[tex]\int\limits {\int\limits_D {x^2ye^x^y} \, dx} \, dy[/tex]

gdzie:

[tex]D=[(x,y):0\leq x\leq 1,0\leq y\leq 2][/tex]

Answer 1

aby obliczyć podwójną całkę funkcji f(x,y) = x^2 y e^(xy)

po obszarze

D = [(x,y) : 0 <= x <= 1, 0 <= y <= 2], wykonujemy kolejno:

∫∫D x^2 y e^(xy) dx dy =

∫0^2 ∫0^1 x^2 y e^(xy) dx dy

pierwsza całka wewnętrzna z x to:

∫0^1 x^2 y e^(xy) dx =

[-1/2 x^2 e^(xy) - 1/2 x e^(xy)]_0^1 =

(-1/2 e^y - 1/2 e^y) + 1/2 =

-e^y + 1/2

podstawiając granice całkowania i wynik do drugiej całki:

∫∫D x^2 y e^(xy) dx dy =

∫0^2 (-e^y + 1/2) dy

drugą całkę można łatwo obliczyć jako:

∫0^2 (-e^y + 1/2) dy =

[-e^y + 1/2 y]_0^2 =

(-1/e^2 + 1/2) - (-1/2) = -1/e^2

stąd wynik całkowania podwójnego funkcji f(x,y) po obszarze D to:

∫∫D x^2 y e^(xy) dx dy = -1/e^2.

mam nadzieje ze ok

jak nie to masz problem