Question

Rozwiąż równanie:
[tex]1 + sin x + sin^{2} x+sin^{3} x+...=2+2sinx[/tex], gdzie x ∈ (0; 2[tex]\pi[/tex])

Answer 1

Odpowiedź:

Lewa strona będzie sumą nieskończonego ciągu geometrycznego

a₁=1

q=sinx

[tex]|q| < 1\quad \Rightarrow \quad-1 < sinx < 1\quad \Rightarrow \quad x\in(0,2\pi )-\{\frac{\pi }{2} ,\frac{3\pi }{2} \}\\\displaystyle S=\frac{a_1}{1-q} \\\frac{1}{1-sinx} =2+2sinx/\cdot(1-sinx)\\2(1+sinx)(1-sinx)=1/:2\\1-sin^2x=\frac{1}{2} \\sin^2x=\frac{1}{2} /\sqrt{} \\sinx=\sqrt{\frac{1}{2} } =\frac{\sqrt{2} }{2} \qquad sinx=-\sqrt{\frac{1}{2} } =-\frac{\sqrt{2} }{2} \\x_1=\frac{\pi }{4} \quad x_2=\frac{3\pi }{4} \qquad x_3=\frac{5\pi }{4} \quad x_4=\frac{7\pi }{4}[/tex]