Question

Zbadaj monotoniczność ciągu dla:

Cn = [tex]\frac{2n-3}{3n}[/tex]

Answer 1

Odpowiedź:

Ciąg jest rosnący.

Szczegółowe wyjaśnienie:

Należy policzyć różnicę:

[tex]c_{n+1}-c_n=\frac{2(n+1)-3}{3(n+1)}-\frac{2n-3}{3n}=\frac{2n+2-3}{3(n+1)}-\frac{2n-3}{3n}=\frac{2n-1}{3(n+1)}-\frac{2n-3}{3n}=\\\\=\frac{n(2n-1)}{3n(n+1)}-\frac{(2n-3)(n+1)}{3n(n+1)}=\frac{2n^2-n}{3n(n+1)}-\frac{2n^2+2n-3n-3}{3n(n+1)}=\frac{2n^2-n}{3n(n+1)}-\frac{2n^2-n-3}{3n(n+1)}=\\\\=\frac{2n^2-n-2n^2+n+3}{3n(n+1)}=\frac{3}{3n(n+1)}=\frac{1}{n(n+1)} > 0[/tex]

Ponieważ powyższa różnica jest dodatnia dla każdego [tex]n\in\mathbb{N}_+[/tex], więc ciąg jest rosnący.