Question

Pomoże mi ktoś rozwiązać zadanie?
Potrzebuję na wzór aby się nauczyć jak to rozwiązywać.
Z góry dzięki - daję NAJ...

Znajdź przedziały wklęsłości i wypukłości funkcji oraz punkty przegięcia: [tex]f(x)=x*e^{-x^{2} }[/tex]

Answer 1

Odpowiedź:

f( x) = x*[tex]e^{-x^2}[/tex]

więc

f ' (x ) = [tex]e^{-x^2} + x*( - 2 x)*e^{-x^2} = ( 1 - 2 x^2)*e^{-x^2}[/tex]

oraz

f '' ( x ) =  [tex]-4 x*[/tex]*[tex]e^{-x^2} + ( 1 - 2 x^2)*( -2 x *e^{-x^2})[/tex] = ( 4 x³ - 6 x)*[tex]e^{-x^2}[/tex]

Wiemy, że  [tex]e^{-x^2} > 0[/tex]    dla   x ∈ R

więc

f '' ( x ) = 0  ⇔  4 x³ - 6 x = 0  ⇔

⇔   2 x*( 2 x² - 3 ) = 0 ⇔ x = 0  lub    x = -[tex]\sqrt{1,5}[/tex]    lub     x = [tex]\sqrt{1,5}[/tex]

Funkcja f  ma punkty przegięcia  w  x = - [tex]\sqrt{1,5}[/tex] ,  w  x = 0   i   w   x = [tex]\sqrt{1,5}[/tex]

--------------------------------------------

f  jest wypukła  w  ( a, b )  jeżeli   f '' ( x ) > 0  dla  x ∈ ( a, b )

f  jest wklęsła  w  ( c, d )   jeżeli  f '' ( x) < 0   dla   x ∈ ( c, d )

Odp.  f  jest  wypukła w : ( - [tex]\sqrt{1,5} ; 0) , ( \sqrt{1,5} : +[/tex]∞ )

f  jest wklęsła  w :   ( - ∞ ; - [tex]\sqrt{1,5} ) , ( 0; \sqrt{1,5} )[/tex]

-----------------------------------------------------------------

Szczegółowe wyjaśnienie: