Question

(+50) KuMat - Kuis Matematika

Jika jarak terdekat antara kurva y = x² + 3x + 3 dan kurva x = y² + 3y + 3 adalah [tex]d[/tex] satuan, maka berapakah nilai dari [tex]\sqrt{d^2+1}[/tex] ?

Answer 1

Verified answer

Jawab:

[tex]\begin{aligned}d &= 2\sqrt{2}\\\sqrt{d^2 + 1} &= \sqrt{8 + 1} = 3\end{aligned}[/tex]

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Perhatikan bahwa kedua kurva merupakan pencerminan dengan garis [tex]x =y[/tex]

Maka jarak terdekat dapat dicari dengan mencari jarak terdekat antara garis pencerminan dengan parabola. Jarak terdekat terjadi ketika gradien garis singgung parabola sama dengan gradien garis pencerminan

[tex]\begin{aligned}m_1 &= 1\\m_2 &= f'(x) = 2x + 3\\\\m_1 &= m_2\\1 &= 2x+3\\x &= -1\end{aligned}[/tex]

Dan untuk nilai y

[tex]\begin{aligned}y &= (-1)^2 + 3(-1) + 3\\y &= 1\end{aligned}[/tex]

Titik (-1, 1) akan dicerminkan ke (1, -1)

Jarak kedua parabola dapat dicari dengan pythagoras

[tex]\begin{aligned}\\d &= \sqrt{(-1 - 1)^2 + (1 - (-1))^2}\\&= \sqrt{2^2 + 2^2}\\&= 2\sqrt{2}\end{aligned}[/tex]

Dan nilai dari soal dapat dicari dengan subtitusi

[tex]\begin{aligned}\sqrt{d^2+1} &= \sqrt{(\sqrt{8})^2 + 1}\\&= 3\end{aligned}[/tex]