Question

logarytmy. Wykaż że
[tex]log_45+log_54\ \textgreater \ log_56+log_65[/tex]

Answer 1

Verified answer

Odpowiedź:

Aby uniknąć żmudnego przepisywania i przekształcania oznaczmy

[tex]\displaystyle x=log_54 \quad y=log_56\Rightarrow y > x\\(\frac{1}{x} +x)-(\frac{1}{y} +y) > 0\\(\frac{1}{x} -\frac{1}{y} )+x-y=(\frac{y-x}{xy} )-(y-x)=(\frac{y-x}{xy} )-\frac{(y-x)xy}{xy} =(\frac{y-x}{xy} )(1-xy)\\\frac{y-x}{xy} > 0[/tex]

Wystarczy udowodnić że 1-xy>0

xy<1

[tex]\displaystyle\frac{x+y}{2} \ge\sqrt{xy}\\\\\frac{x+y}{2} =\frac{log_54+log_56}{2} =\frac{log_524}{2} < \frac{log_525}{2} =\frac{2}{2} =1\Rightarrow \sqrt{xy} < 1\Rightarrow xy < 1[/tex]