Question

Oblicz pole obszaru ograniczonego krzywą [tex]y=\frac{x}{x^4+1}[/tex] i osią [tex]0x[/tex]

Answer 1

Odpowiedź:

[tex]\Large\boxed{P=\dfrac{\pi}{4}}}[/tex]

Szczegółowe wyjaśnienie:

W załączniku wykres funkcji. Zakładam, że chodzi o pole powyżej osi OX

[tex]$P= \int\limits_0^{+\infty}\frac{x}{x^4+1}dx$[/tex]

Zastosujmy podstawienie:

[tex]x^2=t\\[5px]2x\;dx=dt\\[5px]x\;dx=\dfrac{1}{2}dt[/tex]

[tex]$P= \frac{1}{2}\int\limits_0^{+\infty}\frac{1}{t^2+1}dt=\frac{1}{2}\arctan t \Big{|}_0^{+\infty}$[/tex]

wracamy do zmiennej x:

[tex]$P=\frac{1}{2}\arctan x^2 \Big{|}_0^{+\infty}=\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{\pi}{2}-0\right)=\frac{\pi}{4}$[/tex]