Question

Wykaż, że [tex]x_{0}=0[/tex] jest jedynym pierwiastkiem równania [tex]x=ln(x+1)[/tex]

Answer 1

Odpowiedź:

Aby wykazać, że [tex]x_{0}=0[/tex] jest jedynym pierwiastkiem równania [tex]x=ln(x+1)[/tex], możemy posłużyć się argumentem matematycznym.

Dowodzenie, że [tex]x_{0}=0[/tex] jest rozwiązaniem równania:

Rozwiązanie [tex]x_{0}=0[/tex] możemy sprawdzić wstawiając do równania:

[tex]0=ln(0+1)[/tex], co jest prawdziwe, ponieważ [tex]ln(1)=0[/tex].

Dowodzenie, że [tex]x_{0}=0[/tex] jest jedynym rozwiązaniem:

Aby wykazać, że [tex]x_{0}=0[/tex] jest jedynym rozwiązaniem, musimy udowodnić, że dla [tex]x\neq0[/tex] równanie [tex]x=ln(x+1)[/tex] nie jest spełnione.

Oznaczmy [tex]y=x+1[/tex]. Wówczas równanie [tex]x=ln(x+1)[/tex] możemy zapisać jako [tex]x=ln(y)[/tex]. Funkcja [tex]ln(y)[/tex] jest monotonicznie rosnąca i odwracalna na swoim dziedzinie tex[/tex]. Oznacza to, że dla każdych dwóch różnych argumentów funkcji [tex]ln(y)[/tex] istnieje dokładnie jedno równoważne rozwiązanie dla funkcji [tex]x[/tex].

Jeśli istnieje dodatkowe rozwiązanie równania [tex]x=ln(x+1)[/tex], to musi ono odpowiadać równoważnemu argumentowi funkcji [tex]ln(y)[/tex] w dziedzinie tex[/tex]. Ale jedynym rozwiązaniem jest [tex]x_{0}=0[/tex], co oznacza, że dla [tex]x\neq0[/tex] równanie [tex]x=ln(x+1)[/tex] nie jest spełnione.

Wnioskujemy, że [tex]x_{0}=0[/tex] jest jedynym pierwiastkiem równania [tex]x=ln(x+1)[/tex].

Szczegółowe wyjaśnienie: