Question

Wyznacz dziedzinę naturalną funkcji:
[tex]f(x)=\sqrt{1-|e^{2x}+e^x-1| }[/tex]

Answer 1

Odpowiedź:

[tex]D_{f}: x\leq 0[/tex]

Szczegółowe wyjaśnienie:

[tex]f(x)=\sqrt{1-|e^{2x}+e^x-1|[/tex]

Dziedzina:

[tex]1-|e^{2x}+e^x-1|\geq 0[/tex]

[tex]|e^{2x}+e^x-1| \leq 1[/tex]

Po podniesieniu do kwadratu:

[tex]e^{2x}+e^x-1\leq 1[/tex]

[tex]e^{2x}+e^x -2\leq 0[/tex]

Niech [tex]t=e^x[/tex], gdzie [tex]t > 0[/tex] :

[tex]t^2+t-2\leq 0[/tex]

[tex]$\Delta=1-4 \cdot 1 \cdot (-2)=9[/tex]

[tex]$t_{1}=\frac{-1-3}{2}=-2 < 0 \notin D \ t_{2}=\frac{-1+3}{2}=1 > 0 \in D[/tex]

[tex]t \in \langle -2,1 \rangle[/tex]

Z uwagi na fakt [tex]t > 0[/tex] :

[tex]0 < t\leq 1[/tex]

Zatem:

[tex]0 < e^x\leq 1[/tex]

Zważywszy, że [tex]\ \forall x \in \mathbb{R} \ e^x > 0[/tex] :

[tex]e^x\leq 1 \iff e^x \leq e^0 \iff x\leq 0[/tex]