Question

Wykaż że [tex]\displaystyle log_23+log_34\ \textgreater \ 2\sqrt{2}[/tex]

Answer 1

Wystarczy zauważyć, że dla różnych liczb dodatnich zachodzi [tex]x+y > 2\sqrt{xy}[/tex] oraz, że [tex]\lg_23+\lg_34=\lg_23+\frac{2}{\lg_23}[/tex]. Kładąc to do nierówności dostaniemy tezę.

Answer 2

Verified answer

Odpowiedź:

Wykorzystamy tu  taką  własność ,że średnia arytmetyczna jest większa  równa średniej geometrycznej

[tex]\displaystyle \frac{a+b}{2} \ge\sqrt{ab}[/tex]

u nas [tex]log_23 \ne log_34[/tex] dlatego nierówność będzie ostra

[tex]\displaystyle \frac{log_23+log_34}{2} > \sqrt{log_2 3\cdot log_34} =\sqrt{log_23\cdot\frac{log_24}{log_23} } =\sqrt{2} \\\frac{log_23+log_34}{2} > \sqrt{2} /\cdot2\\\log_23+log_34 > 2\sqrt{2}[/tex]