Question

Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y, takich że xy > 0, ta nierówność jest prawdziwa.
[tex] \frac{(x - y)(x^3 + {y}^{3})}{(x + y)( {x}^3 - {y}^{3}) } > \frac{1}{3} [/tex]
​

Answer 1

[tex]\dfrac{(x-y)(x^3+y^3)}{(x+y)(x^3-y^3)} > \dfrac{1}{3}\\\\\dfrac{(x-y)(x+y)(x^2-xy+y^2)}{(x+y)(x-y)(x^2+xy+y^2)} > \dfrac{1}{3}\\\\\dfrac{x^2-xy+y^2}{x^2+xy+y^2} > \dfrac{1}{3}\\\\3(x^2-xy+y^2) > x^2+xy+y^2\\3x^2-3xy+3y^2 > x^2+xy+y^2\\2x^2-4xy+2y^2 > 0\\x^2-2xy+y^2 > 0\\(x-y)^2 > 0[/tex]

Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest zawsze nieujemny. Tutaj, dla podanych w zadaniu warunków, różnica [tex]x-y[/tex] nigdy nie będzie równa 0, dlatego ten kwadrat zawsze będzie większy od zera.