7. W trójkącie ABC wysokość CD wynosi 8. Kąt ABC ma miarę 60°, a kat BAC ma 45°. Oblicz obwód tego trójkąta.
Proszę o szybką pomoc odpowiedź do tego zadania powinna wynosić :
[tex]8 \sqrt{2 + } \frac{24}{ \sqrt{3} } + 8 [/tex]
Proszę o szybką pomoc odpowiedź do tego zadania powinna wynosić :
[tex]8 \sqrt{2 + } \frac{24}{ \sqrt{3} } + 8 [/tex]
Odpowiedź:
[tex]\huge\boxed{O_b=8\sqrt3+8\sqrt2+8}[/tex]
Własności trójkąta o kątach 90°, 45°, 45°.
Jest to trójkąt prostokątny równoramienny.
Jeżeli długości przyprostokątnych są równe a, to przeciwprostokątna jest równa a√2.
Własności trójkąta o kątach 90°, 60°, 45°
Jest to trójkąt prostokątny różnoboczny.
Jeżeli przyprostokątna na przeciwko kąta o mierze 30° ma długość a, to druga przyprostokątna ma długość a√3, a przeciwprostokątna ma długość 2a.
Rozwiązanie:
Rysunek pomocniczy w załączniku.
Wysokość CD opadająca na bok AB dzieli trójkąt ABC na dwa trójkąty:
Przyprostokątna CD trójkąta prostokątnego równoramiennego (90°, 45°, 45°) ma długość 8. Z własności tego trójkąta wynika, że jego druga przyprostokątna AD też ma długość 8. Przeciwprostokątna ma długość 8√2.
[tex]|CD|=|AD|=8\\|AC|=8\sqrt2[/tex]
W drugim trójkącie, przyprostokątna CD ma długość 8. Znajduje się ona na przeciwko kąta o mierze 60°. Aby obliczyć długość drugiej przyprostokątnej, musimy przyrównać wartość długości oznaczonej przyprostokątnej do wzoru na jej długość wypisaną we własnościach tego trójkąta.
[tex]|CD|=8\\|CD|=|BD|\sqrt3\\|BD|\sqrt3=8 |:\sqrt3\\|BD|=\dfrac{8}{\sqrt3}\cdot \dfrac{\sqrt3}{\sqrt3}\\|BD|=\dfrac{8\sqrt3}3[/tex]
Z własności obliczamy długość przeciwprostokątnej BC.
[tex]|BC|=2\cdot\dfrac{8\sqrt3}3\\|BC|=\dfrac{16\sqrt3}3[/tex]
Obliczamy obwód tego trójkąta:
[tex]O_b=|AD|+|BD|+|BC|+|AC|\\O_b=8+\dfrac{8\sqrt3}3+\dfrac{16\sqrt3}3+8\sqrt2\\\\O_b=\dfrac{24\!\!\!\!\!\diagup^8\sqrt3}{3\!\!\!\!\diagup}+8\sqrt2+8\\\\\boxed{O_b=8\sqrt3+8\sqrt2+8}\\[/tex]
Odpowiedź:
Szczegółowe wyjaśnienie:
7.
W trójkącie ABC wysokość CD wynosi 8. Kąt ABC ma miarę 60°, a kat BAC ma 45°. Oblicz obwód tego trójkąta
to
8/AC = sin 45 = 1/√2 to AC/8 = √2 /* 8 to AC = 8√2, AD = 8
Trójkąt po lewej stronie jest polową kwadratu,
trójkąt po prawej stronie jest połową trójkąta równobocznego,
gdzie h = a√3/2 = 8 /* 2/√3 to a = 16/√3 = BC to BD= 8/√3
to
Obwód = 8 + 8√2 + 16/√3 + 8/√3 = 8 + 8√2 + 24/√3